Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{2 x}$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2 x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2 x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2 x}]$

Étape 2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 2.1

Réécrivez $x^{2 x}$ comme $e^{\ln (x^{2 x})}$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2 x})}]$

Étape 2.2

Développez $\ln (x^{2 x})$ en déplaçant $2 x$ hors du logarithme.

$2 \frac{d}{d x} [e^{2 x \ln (x)}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x \ln (x)$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x \ln (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x \ln (x)])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x \ln (x)])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x \ln (x)$ .

$2 (e^{2 x \ln (x)} \frac{d}{d x} [2 x \ln (x)])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x \ln (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$2 e^{2 x \ln (x)} (2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 e^{2 x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$4 e^{2 x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$4 e^{2 x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 7.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$4 e^{2 x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 e^{2 x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 e^{2 x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 e^{2 x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Étape 7.4

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$4 e^{2 x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 e^{2 x \ln (x)} \cdot 1 + 4 e^{2 x \ln (x)} \ln (x)$

Étape 8.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 e^{2 x \ln (x)} + 4 e^{2 x \ln (x)} \ln (x)$

Étape 8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 e^{2 x \ln (x)} \ln (x) + 4 e^{2 x \ln (x)}$