Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{\sqrt{2 x}}$

Étape 1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x}$ comme ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.3

Appliquez la règle de produit à $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2

Comme $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Étape 3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Étape 5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Étape 8.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Étape 9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Étape 10

Associez $x^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Étape 11

Multipliez $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 12

Multipliez $2^{\frac{1}{2}}$ par $2$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1

Multipliez $2^{\frac{1}{2}}$ par $2$ .

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Étape 12.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1}}$

Étape 12.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 12.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 12.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 12.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13

Placez $x^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$