Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{4} e^{x} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{4}$ et $d v = e^{x}$ .

$x^{4} e^{x} - \int e^{x} (4 x^{3}) d x$

Étape 2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$x^{4} e^{x} - (4 \int e^{x} (x^{3}) d x)$

Étape 3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$x^{4} e^{x} - 4 \int e^{x} (x^{3}) d x$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{3}$ et $d v = e^{x}$ .

$x^{4} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x} - \int e^{x} (3 x^{2}) d x)$

Étape 5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$x^{4} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x} - (3 \int e^{x} (x^{2}) d x))$

Étape 6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x^{4} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x} - 3 \int e^{x} (x^{2}) d x)$

Étape 7

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = e^{x}$ .

$x^{4} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x))$

Étape 8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$x^{4} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x)))$

Étape 9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{4} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x))$

Étape 10

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{x}$ .

$x^{4} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)))$

Étape 11

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$x^{4} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))))$

Étape 12

Réécrivez $x^{4} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))))$ comme $x^{4} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) + C$ .

$x^{4} e^{x} - 4 (x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x}) + C$