Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \frac{y}{e^{2 y}} d y$

Étape 1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1

Inversez l’exposant de $e^{2 y}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int_{0}^{1} y {(e^{2 y})}^{- 1} d y$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{2 y})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} y e^{2 y \cdot - 1} d y$

Étape 1.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\int_{0}^{1} y e^{- 2 y} d y$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = y$ et $d v = e^{- 2 y}$ .

$y (- \frac{1}{2} e^{- 2 y})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez $e^{- 2 y}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y (- \frac{e^{- 2 y}}{2})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

Étape 3.2

Associez $y$ et $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

Étape 4

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $- \frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y)$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y$

Étape 6

Laissez $u = - 2 y$ . Alors $d u = - 2 d y$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = - 2 y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Étape 6.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $y$ est $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 6.2

Remplacez la limite inférieure pour $y$ dans $u = - 2 y$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

Étape 6.3

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 6.4

Remplacez la limite supérieure pour $y$ dans $u = - 2 y$ .

$u_{upper} = - 2 \cdot 1$

Étape 6.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$u_{upper} = - 2$

Étape 6.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Étape 6.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 7.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Étape 9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u))$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

Étape 10.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

Étape 11

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2}$

Étape 12

Remplacez et simplifiez.

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Étape 12.1

Évaluez $- \frac{y e^{- 2 y}}{2}$ sur $1$ et sur $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 2 \cdot 1}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2}$

Étape 12.2

Évaluez $e^{u}$ sur $- 2$ et sur $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 2 \cdot 1}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Étape 12.3

Simplifiez

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Étape 12.3.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- \frac{1 e^{- 2}}{2} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Étape 12.3.2

Multipliez $e^{- 2}$ par $1$ .

$- \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Étape 12.3.3

Placez $e^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Étape 12.3.4

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 e^{0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Étape 12.3.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 \cdot 1}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Étape 12.3.6

Multipliez $0$ par $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Étape 12.3.7

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 12.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 (0)}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Étape 12.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Étape 12.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Étape 12.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0}{1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Étape 12.3.7.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + 0 - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Étape 12.3.8

Additionnez $- \frac{1}{2 e^{2}}$ et $0$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Étape 12.3.9

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

Étape 12.3.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$

Étape 12.3.11

Pour écrire $- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) \cdot \frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$

Étape 12.3.12

Associez $- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$ et $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) (2 e^{2})}{2 e^{2}}$

Étape 12.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) (2 e^{2})}{2 e^{2}}$

Étape 12.3.14

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 - 2 (\frac{1}{4}) (e^{- 2} - 1) e^{2}}{2 e^{2}}$

Étape 12.3.15

Associez $- 2$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 2}{4} (e^{- 2} - 1) e^{2}}{2 e^{2}}$

Étape 12.3.16

Associez $e^{2}$ et $\frac{- 2}{4}$ .

$\frac{- 1 + \frac{e^{2} \cdot - 2}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Étape 12.3.17

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{2}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 2 \cdot e^{2}}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Étape 12.3.18

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 12.3.18.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 e^{2}$ .

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Étape 12.3.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.3.18.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{2 (2)} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Étape 12.3.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{2 \cdot 2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Étape 12.3.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 + \frac{- e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Étape 12.3.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- 1 - \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Étape 13.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)$ .

$\frac{- 1 (1) - (\frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))}{2 e^{2}}$

Étape 13.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (\frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))$ .

$\frac{- 1 (1 + \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))}{2 e^{2}}$

Étape 13.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1 + \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1 + \frac{e^{2}}{2} e^{- 2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Étape 14.2

Multipliez $\frac{e^{2}}{2} e^{- 2}$ .

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Étape 14.2.1

Associez $\frac{e^{2}}{2}$ et $e^{- 2}$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{2} e^{- 2}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Étape 14.2.2

Multipliez $e^{2}$ par $e^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.2.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1 + \frac{e^{2 - 2}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Étape 14.2.2.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{0}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Étape 14.2.3

Simplifiez $e^{0}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Étape 14.3

Associez $\frac{e^{2}}{2}$ et $- 1$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{e^{2} \cdot - 1}{2}}{2 e^{2}}$

Étape 14.4

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{2}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Étape 14.5

Réécrivez $- 1 e^{2}$ comme $- e^{2}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Étape 14.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.6.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{\frac{2}{2} + \frac{1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Étape 14.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\frac{2 + 1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Étape 14.6.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \frac{\frac{3}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Étape 14.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\frac{3 - e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Étape 14.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (\frac{3 - e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}})$

Étape 14.8

Multipliez $\frac{3 - e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}}$ .

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Étape 14.8.1

Multipliez $\frac{3 - e^{2}}{2}$ par $\frac{1}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{3 - e^{2}}{2 (2 e^{2})}$

Étape 14.8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{3 - e^{2}}{4 e^{2}}$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{3 - e^{2}}{4 e^{2}}$

Forme décimale :

$0.14849853 \dots$

Étape 16