Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x {(x - 2)}^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 2$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 2$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 2$ .

$x (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$x (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.4.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \cdot 1$

Étape 1.1.3.6

Multipliez ${(x - 2)}^{3}$ par $1$ .

$x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Factorisez ${(x - 2)}^{2}$ à partir de $x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3}$ .

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Étape 1.1.4.1.1

Factorisez ${(x - 2)}^{2}$ à partir de $x (3 {(x - 2)}^{2})$ .

${(x - 2)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 2)}^{3}$

Étape 1.1.4.1.2

Factorisez ${(x - 2)}^{2}$ à partir de ${(x - 2)}^{3}$ .

${(x - 2)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Étape 1.1.4.1.3

Factorisez ${(x - 2)}^{2}$ à partir de ${(x - 2)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 2)}^{2} (x - 2)$ .

${(x - 2)}^{2} (x \cdot (3) + x - 2)$

Étape 1.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.4.2.1

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

${(x - 2)}^{2} (3 \cdot x + x - 2)$

Étape 1.1.4.2.2

Additionnez $3 x$ et $x$ .

${(x - 2)}^{2} (4 x - 2)$

Étape 1.1.4.3

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$(x - 2) (x - 2) (4 x - 2)$

Étape 1.1.4.4

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x (x - 2) - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Étape 1.1.4.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Étape 1.1.4.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Étape 1.1.4.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.4.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Étape 1.1.4.5.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$(x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Étape 1.1.4.5.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$(x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (4 x - 2)$

Étape 1.1.4.5.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) (4 x - 2)$

Étape 1.1.4.6

Développez $(x^{2} - 4 x + 4) (4 x - 2)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 2 - 4 x (4 x) - 4 x \cdot - 2 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 2$

Étape 1.1.4.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.7.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 - 4 x (4 x) - 4 x \cdot - 2 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 2$

Étape 1.1.4.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.7.2.1

Déplacez $x$ .

$4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 4 x (4 x) - 4 x \cdot - 2 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 2$

Étape 1.1.4.7.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.4.7.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 4 x (4 x) - 4 x \cdot - 2 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 2$

Étape 1.1.4.7.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 2 - 4 x (4 x) - 4 x \cdot - 2 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 2$

Étape 1.1.4.7.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$4 x^{3} + x^{2} \cdot - 2 - 4 x (4 x) - 4 x \cdot - 2 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 2$

Étape 1.1.4.7.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $x^{2}$ .

$4 x^{3} - 2 \cdot x^{2} - 4 x (4 x) - 4 x \cdot - 2 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 2$

Étape 1.1.4.7.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x^{3} - 2 x^{2} - 4 \cdot 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 2 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 2$

Étape 1.1.4.7.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.7.5.1

Déplacez $x$ .

$4 x^{3} - 2 x^{2} - 4 \cdot 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 2 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 2$

Étape 1.1.4.7.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x^{3} - 2 x^{2} - 4 \cdot 4 x^{2} - 4 x \cdot - 2 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 2$

Étape 1.1.4.7.6

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$4 x^{3} - 2 x^{2} - 16 x^{2} - 4 x \cdot - 2 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 2$

Étape 1.1.4.7.7

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$4 x^{3} - 2 x^{2} - 16 x^{2} + 8 x + 4 (4 x) + 4 \cdot - 2$

Étape 1.1.4.7.8

Multipliez $4$ par $4$ .

$4 x^{3} - 2 x^{2} - 16 x^{2} + 8 x + 16 x + 4 \cdot - 2$

Étape 1.1.4.7.9

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$4 x^{3} - 2 x^{2} - 16 x^{2} + 8 x + 16 x - 8$

Étape 1.1.4.8

Soustrayez $16 x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x + 16 x - 8$

Étape 1.1.4.9

Additionnez $8 x$ et $16 x$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 18 x^{2} + 24 x - 8$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 18 x^{2} + 24 x - 8$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 24 x - 8$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 18 x^{2} + 24 x - 8 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 24 x - 8 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3} - 18 x^{2} + 24 x - 8$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3}$ .

$2 (2 x^{3}) - 18 x^{2} + 24 x - 8 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 18 x^{2}$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (- 9 x^{2}) + 24 x - 8 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $24 x$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (- 9 x^{2}) + 2 (12 x) - 8 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (- 9 x^{2}) + 2 (12 x) + 2 (- 4) = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3}) + 2 (- 9 x^{2})$ .

$2 (2 x^{3} - 9 x^{2}) + 2 (12 x) + 2 (- 4) = 0$

Étape 2.2.1.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3} - 9 x^{2}) + 2 (12 x)$ .

$2 (2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x) + 2 (- 4) = 0$

Étape 2.2.1.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x) + 2 (- 4)$ .

$2 (2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.2.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 2.2.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 4, \pm 2$

Étape 2.2.2.3

Remplacez $0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.2.2.3.1

Remplacez $0.5$ dans le polynôme.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 9 \cdot {0.5}^{2} + 12 \cdot 0.5 - 4$

Étape 2.2.2.3.2

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot 0.125 - 9 \cdot {0.5}^{2} + 12 \cdot 0.5 - 4$

Étape 2.2.2.3.3

Multipliez $2$ par $0.125$ .

$0.25 - 9 \cdot {0.5}^{2} + 12 \cdot 0.5 - 4$

Étape 2.2.2.3.4

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$0.25 - 9 \cdot 0.25 + 12 \cdot 0.5 - 4$

Étape 2.2.2.3.5

Multipliez $- 9$ par $0.25$ .

$0.25 - 2.25 + 12 \cdot 0.5 - 4$

Étape 2.2.2.3.6

Soustrayez $2.25$ de $0.25$ .

$- 2 + 12 \cdot 0.5 - 4$

Étape 2.2.2.3.7

Multipliez $12$ par $0.5$ .

$- 2 + 6 - 4$

Étape 2.2.2.3.8

Additionnez $- 2$ et $6$ .

$4 - 4$

Étape 2.2.2.3.9

Soustrayez $4$ de $4$ .

$0$

Étape 2.2.2.4

Comme $0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4}{2 x - 1}$

Étape 2.2.2.5

Divisez $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4$ par $2 x - 1$ .

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Étape 2.2.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$9 x^{2}$

$12 x$

$4$

Étape 2.2.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$

Étape 2.2.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 2.2.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 2.2.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Étape 2.2.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$

Étape 2.2.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 8 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$

Étape 2.2.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$4 x$

Étape 2.2.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 8 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$

Étape 2.2.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$

Étape 2.2.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$

Étape 2.2.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $8 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$

Étape 2.2.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							+	$8 x$	-	$4$

Étape 2.2.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $8 x - 4$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							-	$8 x$	+	$4$

Étape 2.2.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							-	$8 x$	+	$4$
										$0$

Étape 2.2.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 4 x + 4$

Étape 2.2.2.6

Écrivez $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4$ comme un ensemble de facteurs.

$2 ((2 x - 1) (x^{2} - 4 x + 4)) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez.

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Étape 2.2.3.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.2.3.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 ((2 x - 1) (x^{2} - 4 x + 2^{2})) = 0$

Étape 2.2.3.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 2.2.3.1.3

Réécrivez le polynôme.

$2 ((2 x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Étape 2.2.3.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$2 ((2 x - 1) {(x - 2)}^{2}) = 0$

Étape 2.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (2 x - 1) {(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 2.4

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 2.5

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez ${(x - 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.5.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (2 x - 1) {(x - 2)}^{2} = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}, 2$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x {(x - 2)}^{3}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{1}{2}) {((\frac{1}{2}) - 2)}^{3}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})}^{3}$

Étape 4.1.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})}^{3}$

Étape 4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 \cdot 2}{2})}^{3}$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 4}{2})}^{3}$

Étape 4.1.2.4.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{- 3}{2})}^{3}$

Étape 4.1.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(- \frac{3}{2})}^{3}$

Étape 4.1.2.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.6.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3})$

Étape 4.1.2.6.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}})$

Étape 4.1.2.7

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{3^{3}}{2^{3}})$

Étape 4.1.2.8

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{27}{2^{3}})$

Étape 4.1.2.9

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{27}{8})$

Étape 4.1.2.10

Multipliez $\frac{1}{2} (- \frac{27}{8})$ .

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Étape 4.1.2.10.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{27}{8}$ .

$- \frac{27}{2 \cdot 8}$

Étape 4.1.2.10.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$- \frac{27}{16}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$(2) {((2) - 2)}^{3}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$2 \cdot 0^{3}$

Étape 4.2.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 \cdot 0$

Étape 4.2.2.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$0$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{1}{2}, - \frac{27}{16}), (2, 0)$

Étape 5