Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{3} \sin (x) - 3 x \cos (x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} \sin (x) - 3 x \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x \cos (x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3} \sin (x)]$ .

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3} \sin (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3} \sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x \cos (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$2 (x^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x \cos (x)]$

Étape 2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 (x^{3} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x \cos (x)]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (x^{3} \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 3 x \cos (x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x \cos (x)]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$2 (x^{3} \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2})) - 3 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (x^{3} \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2})) - 3 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 (x^{3} \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2})) - 3 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x^{3} \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2})) - 3 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

Étape 3.5

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$2 (x^{3} \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2})) - 3 (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x^{3} \cos (x)) + 2 (\sin (x) (3 x^{2})) - 3 (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x^{3} \cos (x)) + 2 (\sin (x) (3 x^{2})) - 3 (x (- \sin (x))) - 3 \cos (x)$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$2 x^{3} \cos (x) + 6 (\sin (x) (x^{2})) - 3 (x (- \sin (x))) - 3 \cos (x)$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$2 x^{3} \cos (x) + 6 \sin (x) x^{2} + 3 x \sin (x) - 3 \cos (x)$

Étape 4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x^{3} \cos (x) + 6 x^{2} \sin (x) + 3 x \sin (x) - 3 \cos (x)$