Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (| x |)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = | x |$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $| x |$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $| x |$ .

$\frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]$

Étape 2

La dérivée de $| x |$ par rapport à $x$ est $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |}$

Étape 3

Multipliez $\frac{1}{| x |}$ par $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x | | x |}$

Étape 4

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\frac{x}{| x \cdot x |}$

Étape 5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x}{| x^{1} x |}$

Étape 6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x}{| x^{1} x^{1} |}$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x}{| x^{1 + 1} |}$

Étape 8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x}{| x^{2} |}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.

$\frac{x}{x^{2}}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 9.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1}}{x^{2}}$

Étape 9.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 9.2.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Étape 9.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Étape 9.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x}$