Calcul infinitésimal Exemples

${(x + y)}^{3} = x^{3} + y^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} ({(x + y)}^{3}) = \frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x + y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + y$ .

$3 {(x + y)}^{2} \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 {(x + y)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 {(x + y)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 {(x + y)}^{2} (1 + y')$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 {(x + y)}^{2} \cdot 1 + 3 {(x + y)}^{2} y'$

Étape 2.4.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 {(x + y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 {(x + y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 {(x + y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} y'$ .

$3 {(x + y)}^{2} + 3 y' {(x + y)}^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant $y'$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $3 y^{2} y'$ des deux côtés de l’équation.

$3 {(x + y)}^{2} + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Étape 5.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1

Réécrivez ${(x + y)}^{2}$ comme $(x + y) (x + y)$ .

$3 ((x + y) (x + y)) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Étape 5.2.2.2

Développez $(x + y) (x + y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x (x + y) + y (x + y)) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Étape 5.2.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x \cdot x + x y + y (x + y)) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Étape 5.2.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Étape 5.2.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Étape 5.2.2.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$3 (x^{2} + x y + y x + y^{2}) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Étape 5.2.2.3.2

Additionnez $x y$ et $y x$ .

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Étape 5.2.2.3.2.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $x$ .

$3 (x^{2} + x y + x y + y^{2}) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Étape 5.2.2.3.2.2

Additionnez $x y$ et $x y$ .

$3 (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Étape 5.2.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 3 (2 x y) + 3 y^{2} + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Étape 5.2.2.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$3 x^{2} + 6 (x y) + 3 y^{2} + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Étape 5.2.2.6

Réécrivez ${(x + y)}^{2}$ comme $(x + y) (x + y)$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' ((x + y) (x + y)) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Étape 5.2.2.7

Développez $(x + y) (x + y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x (x + y) + y (x + y)) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Étape 5.2.2.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x \cdot x + x y + y (x + y)) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Étape 5.2.2.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Étape 5.2.2.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.8.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Étape 5.2.2.8.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x^{2} + x y + y x + y^{2}) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Étape 5.2.2.8.2

Additionnez $x y$ et $y x$ .

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Étape 5.2.2.8.2.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $x$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x^{2} + x y + x y + y^{2}) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Étape 5.2.2.8.2.2

Additionnez $x y$ et $x y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Étape 5.2.2.9

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 3 y' (2 x y) + 3 y' y^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Étape 5.2.2.10

Multipliez $2$ par $3$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y + 3 y' y^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Étape 5.2.3

Associez les termes opposés dans $3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y + 3 y' y^{2} - 3 y^{2} y'$ .

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Étape 5.2.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $3 y' y^{2}$ et $- 3 y^{2} y'$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y + 3 y^{2} y' - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Étape 5.2.3.2

Soustrayez $3 y^{2} y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y + 0 = 3 x^{2}$

Étape 5.2.3.3

Additionnez $3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y$ et $0$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y = 3 x^{2}$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.1

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y = 3 x^{2} - 3 x^{2}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $6 x y$ des deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y = 3 x^{2} - 3 x^{2} - 6 x y$

Étape 5.3.3

Soustrayez $3 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 y' x^{2} + 6 y' x y = 3 x^{2} - 3 x^{2} - 6 x y - 3 y^{2}$

Étape 5.3.4

Soustrayez $3 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$3 y' x^{2} + 6 y' x y = 0 - 6 x y - 3 y^{2}$

Étape 5.3.5

Soustrayez $6 x y$ de $0$ .

$3 y' x^{2} + 6 y' x y = - 6 x y - 3 y^{2}$

Étape 5.4

Factorisez $3 y' x$ à partir de $3 y' x^{2} + 6 y' x y$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $3 y' x$ à partir de $3 y' x^{2}$ .

$3 y' x \cdot x + 6 y' x y = - 6 x y - 3 y^{2}$

Étape 5.4.2

Factorisez $3 y' x$ à partir de $6 y' x y$ .

$3 y' x \cdot x + 3 y' x (2 y) = - 6 x y - 3 y^{2}$

Étape 5.4.3

Factorisez $3 y' x$ à partir de $3 y' x \cdot x + 3 y' x (2 y)$ .

$3 y' x (x + 2 y) = - 6 x y - 3 y^{2}$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $3 y' x (x + 2 y) = - 6 x y - 3 y^{2}$ par $3 x (x + 2 y)$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $3 y' x (x + 2 y) = - 6 x y - 3 y^{2}$ par $3 x (x + 2 y)$ .

$\frac{3 y' x (x + 2 y)}{3 x (x + 2 y)} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y' x (x + 2 y)}{3 x (x + 2 y)} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' x (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' x (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.2.3

Annulez le facteur commun de $x + 2 y$ .

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Étape 5.5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $3$ .

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Étape 5.5.3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6 x y$ .

$y' = \frac{3 (- 2 x y)}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x (x + 2 y))} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x (x + 2 y))} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.5.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 2 y}{x + 2 y} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.1.4

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 5.5.3.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 y^{2}$ .

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{3 (- y^{2})}{3 x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x (x + 2 y)$ .

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{3 (- y^{2})}{3 (x (x + 2 y))}$

Étape 5.5.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{3 (- y^{2})}{3 (x (x + 2 y))}$

Étape 5.5.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.2

Pour écrire $- \frac{2 y}{x + 2 y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 2 y) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.5.3.3.1

Multipliez $\frac{2 y}{x + 2 y}$ par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y x}{(x + 2 y) x} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(x + 2 y) x$ .

$y' = - \frac{2 y x}{x (x + 2 y)} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 2 y x - y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.5

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y x - y^{2}$ .

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Étape 5.5.3.5.1

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y x$ .

$y' = \frac{y (- 2 x) - y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.5.2

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- 2 x) + y (- y)}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.5.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- 2 x) + y (- y)$ .

$y' = \frac{y (- 2 x - y)}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{y (- (2 x) - y)}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$y' = \frac{y (- (2 x) - (y))}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{y (- (2 x + y))}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.3.9.1

Réécrivez $- (2 x + y)$ comme $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (2 x + y))}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.5.3.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y (2 x + y)}{x (x + 2 y)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (2 x + y)}{x (x + 2 y)}$