Calcul infinitésimal Exemples

$\int z^{3} e^{z} d z$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = z^{3}$ et $d v = e^{z}$ .

$z^{3} e^{z} - \int e^{z} (3 z^{2}) d z$

Étape 2

Comme $3$ est constant par rapport à $z$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$z^{3} e^{z} - (3 \int e^{z} (z^{2}) d z)$

Étape 3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$z^{3} e^{z} - 3 \int e^{z} (z^{2}) d z$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = z^{2}$ et $d v = e^{z}$ .

$z^{3} e^{z} - 3 (z^{2} e^{z} - \int e^{z} (2 z) d z)$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $z$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$z^{3} e^{z} - 3 (z^{2} e^{z} - (2 \int e^{z} (z) d z))$

Étape 6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$z^{3} e^{z} - 3 (z^{2} e^{z} - 2 \int e^{z} (z) d z)$

Étape 7

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = z$ et $d v = e^{z}$ .

$z^{3} e^{z} - 3 (z^{2} e^{z} - 2 (z e^{z} - \int e^{z} d z))$

Étape 8

L’intégrale de $e^{z}$ par rapport à $z$ est $e^{z}$ .

$z^{3} e^{z} - 3 (z^{2} e^{z} - 2 (z e^{z} - (e^{z} + C)))$

Étape 9

Réécrivez $z^{3} e^{z} - 3 (z^{2} e^{z} - 2 (z e^{z} - (e^{z} + C)))$ comme $z^{3} e^{z} - 3 (z^{2} e^{z} - 2 z e^{z} + 2 e^{z}) + C$ .

$z^{3} e^{z} - 3 (z^{2} e^{z} - 2 z e^{z} + 2 e^{z}) + C$