Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{3} - x^{3}}{h}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{3} - x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{3} - lim_{h \to 0} x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.2

Déplacez l’exposant $3$ de ${(x + h)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{3} - lim_{h \to 0} x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.4

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.5

Évaluez la limite de $x^{3}$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} - x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{{(x + 0)}^{3} - x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3

Associez les termes opposés dans ${(x + 0)}^{3} - x^{3}$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{x^{3} - x^{3}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{3} - x^{3}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3} - x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3} - x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(x + h)}^{3} - x^{3}$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- x^{3}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = h^{3}$ et $g (h) = x + h$ .

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Étape 1.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + h$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.3

Comme $x$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $x$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2} + \frac{d}{d h} [- x^{3}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4

Comme $- x^{3}$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $3 {(x + h)}^{2}$ et $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2}}{1}$

Étape 1.4

Divisez $3 {(x + h)}^{2}$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} 3 {(x + h)}^{2}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $h$ .

$3 lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}$

Étape 2.2

Déplacez l’exposant $2$ de ${(x + h)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$3 {(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$3 {(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$3 {(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Étape 3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$3 {(x + 0)}^{2}$

Étape 4

Additionnez $x$ et $0$ .

$3 x^{2}$