Calcul infinitésimal Exemples

Trouver l'aire entre les courbes y=x , y=x^2
,
Étape 1
Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.
Étape 1.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.2
Factorisez le côté gauche de l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.2.1
Laissez . Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.2.2.2
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.2.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.2.2.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.2.2.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.2.2.4
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.2.3
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 1.2.4
Définissez égal à .
Étape 1.2.5
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.1
Définissez égal à .
Étape 1.2.5.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.5.2.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.2.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 1.2.5.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.2.2.2.1
La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.
Étape 1.2.5.2.2.2.2
Divisez par .
Étape 1.2.5.2.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.2.2.3.1
Divisez par .
Étape 1.2.6
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 1.3
Évaluez quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1
Remplacez par .
Étape 1.3.2
Remplacez par dans et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.2.1
Supprimez les parenthèses.
Étape 1.3.2.2
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 1.4
Évaluez quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1
Remplacez par .
Étape 1.4.2
Remplacez par dans et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.1
Supprimez les parenthèses.
Étape 1.4.2.2
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 1.5
La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.
Étape 2
L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.
Étape 3
Intégrez pour déterminer l’aire entre et .
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Étape 3.1
Associez les intégrales en une intégrale unique.
Étape 3.2
Multipliez par .
Étape 3.3
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 3.4
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 3.5
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 3.6
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 3.7
Simplifiez la réponse.
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Étape 3.7.1
Associez et .
Étape 3.7.2
Remplacez et simplifiez.
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Étape 3.7.2.1
Évaluez sur et sur .
Étape 3.7.2.2
Évaluez sur et sur .
Étape 3.7.2.3
Simplifiez
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Étape 3.7.2.3.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 3.7.2.3.2
Multipliez par .
Étape 3.7.2.3.3
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 3.7.2.3.4
Multipliez par .
Étape 3.7.2.3.5
Multipliez par .
Étape 3.7.2.3.6
Additionnez et .
Étape 3.7.2.3.7
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 3.7.2.3.8
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 3.7.2.3.9
Annulez le facteur commun à et .
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Étape 3.7.2.3.9.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.7.2.3.9.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.7.2.3.9.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.7.2.3.9.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 3.7.2.3.9.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 3.7.2.3.9.2.4
Divisez par .
Étape 3.7.2.3.10
Multipliez par .
Étape 3.7.2.3.11
Additionnez et .
Étape 3.7.2.3.12
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 3.7.2.3.13
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 3.7.2.3.14
Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun , en multipliant chacun par un facteur approprié de .
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Étape 3.7.2.3.14.1
Multipliez par .
Étape 3.7.2.3.14.2
Multipliez par .
Étape 3.7.2.3.14.3
Multipliez par .
Étape 3.7.2.3.14.4
Multipliez par .
Étape 3.7.2.3.15
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 3.7.2.3.16
Soustrayez de .
Étape 4