Calcul infinitésimal Exemples

$\int \tan^{3} (x) d x$

Étape 1

Factorisez $\tan^{2} (x)$ .

$\int \tan^{2} (x) \tan (x) d x$

Étape 2

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (x)$ comme $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$\int - 1 \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - 1 \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Étape 6

L’intégrale de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sec (x) |)$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Étape 7

Laissez $u = \sec (x)$ . Alors $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = \sec (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 7.1.2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int u d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Étape 9

Simplifiez

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (x) + C$