Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} x \sin (x^{2}) d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{2}$ .

$u_{lower} = 1^{2}$

Étape 1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{2}$ .

$u_{upper} = 2^{2}$

Étape 1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u_{upper} = 4$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{4} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \sin (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{1}^{4}$

Étape 5

Évaluez $- \cos (u)$ sur $4$ et sur $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (4) + \cos (1))$

Étape 6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Évaluez $\cos (4)$ .

$\frac{1}{2} (- - 0.65364362 + \cos (1))$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 0.65364362$ .

$\frac{1}{2} (0.65364362 + \cos (1))$

Étape 6.1.3

Évaluez $\cos (1)$ .

$\frac{1}{2} (0.65364362 + 0.5403023)$

Étape 6.2

Additionnez $0.65364362$ et $0.5403023$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1.19394592$

Étape 6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $1.19394592$ .

$\frac{1.19394592}{2}$

Étape 6.4

Divisez $1.19394592$ par $2$ .

$0.59697296$