Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{{(\sqrt{x} + 2)}^{2}}{5 \sqrt{x}} d x$

Étape 1

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} \int \frac{{(\sqrt{x} + 2)}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{5} \int \frac{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Étape 2.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{5} \int \frac{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 2.3

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 2.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 2.4.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 2.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 3

Laissez $u = x^{\frac{1}{2}} + 2$ . Alors $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , donc $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = x^{\frac{1}{2}} + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{1}{2}} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 3.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.1.3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.1.3.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.1.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.1.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.1.3.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.1.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0$

Étape 3.1.5

Simplifiez

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Étape 3.1.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Étape 3.1.5.2

Associez des termes.

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Étape 3.1.5.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Étape 3.1.5.2.2

Additionnez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{5} \int 2 u^{2} d u$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} (2 \int u^{2} d u)$

Étape 5

Associez $2$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} \int u^{2} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Étape 7

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Étape 7.1

Réécrivez $\frac{2}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ comme $\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 7.2

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{5 \cdot 3} u^{3} + C$

Étape 7.2.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{2}{15} u^{3} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

$\frac{2}{15} {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{3} + C$