Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sin (t) \sqrt{1 + \cos (t)} d t$

Étape 1

Laissez $u = 1 + \cos (t)$ . Alors $d u = - \sin (t) d t$ , donc $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 + \cos (t)$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 + \cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \cos (t)]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \cos (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Étape 1.1.3

La dérivée de $\cos (t)$ par rapport à $t$ est $- \sin (t)$ .

$0 - \sin (t)$

Étape 1.1.4

Soustrayez $\sin (t)$ de $0$ .

$- \sin (t)$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - 1 \sqrt{u} d u$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \sqrt{u} d u$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 5

Réécrivez $- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ comme $- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + \cos (t)$ .

$- \frac{2}{3} {(1 + \cos (t))}^{\frac{3}{2}} + C$