Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{5}{x^{2} + 5}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5}{x^{2} + 5}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 5}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 5}]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} + 5}$ comme ${(x^{2} + 5)}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} + 5$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 5$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 5$ .

$5 (- {(x^{2} + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 ({(x^{2} + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 5 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 5 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 3.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 5 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (2 x + 0)$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- 5 {(x^{2} + 5)}^{- 2} (2 x)$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$- 10 {(x^{2} + 5)}^{- 2} x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 10 \frac{1}{{(x^{2} + 5)}^{2}} x$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $- 10$ et $\frac{1}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$ .

$\frac{- 10}{{(x^{2} + 5)}^{2}} x$

Étape 4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{10}{{(x^{2} + 5)}^{2}} x$

Étape 4.2.3

Associez $x$ et $\frac{10}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 10}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 4.2.4

Déplacez $10$ à gauche de $x$ .

$- \frac{10 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$