Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Étape 7

Associez $\frac{3}{2}$ et ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Étape 8

Multipliez $\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 9

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 10

Factorisez $3$ à partir de $3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 14

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + 0)$

Étape 15

Simplifiez les termes.

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Étape 15.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

Étape 15.2

Associez $2$ et $\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} x$

Étape 15.3

Associez $\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ et $x$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

Étape 15.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

Étape 15.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.5.1

Divisez ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x$ par $1$ .

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x$

Étape 15.5.2

Réorganisez les facteurs de ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x$ .

$x {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$