Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 4} \frac{\sqrt{x^{2} + 9} - 5}{x + 4}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 4} \sqrt{x^{2} + 9} - 5}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 4$ .

$\frac{lim_{x \to - 4} \sqrt{x^{2} + 9} - lim_{x \to - 4} 5}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 4} x^{2} + 9} - lim_{x \to - 4} 5}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 4$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 4} x^{2} + lim_{x \to - 4} 9} - lim_{x \to - 4} 5}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.1.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + lim_{x \to - 4} 9} - lim_{x \to - 4} 5}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.1.5

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 4$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 9} - lim_{x \to - 4} 5}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.1.6

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 4$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 9} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 4$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{{(- 4)}^{2} + 9} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 9} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Additionnez $16$ et $9$ .

$\frac{\sqrt{25} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.3.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{5 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $5$ de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 4}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 4$ pour $x$ .

$\frac{0}{- 4 + 4}$

Étape 1.1.3.3

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 4} \frac{\sqrt{x^{2} + 9} - 5}{x + 4} = lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 9} - 5]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 9} - 5]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{x^{2} + 9} - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 9}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 9}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 9}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 9}$ comme ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 9$ .

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Étape 1.3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 9$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 9$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.3.5

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.3.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.3.11

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.3.12

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.3.13

Associez $2$ et $\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.3.14

Associez $\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $x$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.3.15

Placez ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.3.16

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.3.17

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [4]}$

Étape 1.3.8

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Étape 1.3.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to - 4} \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 1.5

Réécrivez ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x^{2} + 9}$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 9}} \cdot 1$

Étape 1.6

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 9}}$ par $1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 9}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 4$ .

$\frac{lim_{x \to - 4} x}{lim_{x \to - 4} \sqrt{x^{2} + 9}}$

Étape 2.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{lim_{x \to - 4} x}{\sqrt{lim_{x \to - 4} x^{2} + 9}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 4$ .

$\frac{lim_{x \to - 4} x}{\sqrt{lim_{x \to - 4} x^{2} + lim_{x \to - 4} 9}}$

Étape 2.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{lim_{x \to - 4} x}{\sqrt{{(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + lim_{x \to - 4} 9}}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 4$ .

$\frac{lim_{x \to - 4} x}{\sqrt{{(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 9}}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $- 4$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 4$ pour $x$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{{(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 9}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 4$ pour $x$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{{(- 4)}^{2} + 9}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{16 + 9}}$

Étape 4.1.2

Additionnez $16$ et $9$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{25}}$

Étape 4.1.3

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{5^{2}}}$

Étape 4.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{- 4}{5}$

Étape 4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{5}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{4}{5}$

Forme décimale :

$- 0.8$