Calcul infinitésimal Exemples

$2 x + y^{2} = 8$ , $x = y$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $y$ dans chaque équation.

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Étape 1.1.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $2 x + y^{2} = 8$ par $y$ .

$2 (y) + y^{2} = 8$

$x = y$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Multipliez $2$ par $y$ .

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

Étape 1.2

Résolvez $y$ dans $2 y + y^{2} = 8$ .

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Étape 1.2.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$2 y + y^{2} - 8 = 0$

$x = y$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Laissez $u = y$ . Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $u$ .

$2 u + u^{2} - 8 = 0$

$x = y$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $2 u + u^{2} - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $2$ .

$- 2, 4$

$x = y$

Étape 1.2.2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 2) (u + 4) = 0$

$x = y$

$(u - 2) (u + 4) = 0$

$x = y$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$(y - 2) (y + 4) = 0$

$x = y$

$(y - 2) (y + 4) = 0$

$x = y$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y - 2 = 0$

$y + 4 = 0$

$x = y$

Étape 1.2.4

Définissez $y - 2$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $y - 2$ égal à $0$ .

$y - 2 = 0$

$x = y$

Étape 1.2.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 2$

$x = y$

$y = 2$

$x = y$

Étape 1.2.5

Définissez $y + 4$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $y + 4$ égal à $0$ .

$y + 4 = 0$

$x = y$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 4$

$x = y$

$y = - 4$

$x = y$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(y - 2) (y + 4) = 0$ vraie.

$y = 2, - 4$

$x = y$

$y = 2, - 4$

$x = y$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $2$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = y$ par $2$ .

$x = 2$

$y = 2$

Étape 1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- 4$ dans chaque équation.

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Étape 1.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = y$ par $- 4$ .

$x = - 4$

$y = - 4$

Étape 1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$x = - 4$

$y = - 4$

$x = - 4$

$y = - 4$

$x = - 4$

$y = - 4$

Étape 1.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(2, 2)$

$(- 4, - 4)$

$(2, 2)$

$(- 4, - 4)$

Étape 2

Résolvez $2 x + y^{2} = 8$ en termes de $x$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = 8 - y^{2}$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 8 - y^{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 8 - y^{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1.1

Divisez $8$ par $2$ .

$x = 4 + \frac{- y^{2}}{2}$

Étape 2.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = 4 - \frac{y^{2}}{2}$

Étape 3

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} d y - \int_{- 4}^{2} y d y$

Étape 4

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- 4$ et $2$ .

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Étape 4.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} - (y) d y$

Étape 4.2

Multipliez $- 1$ par $y$ .

$\int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} - y d y$

Étape 4.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 4}^{2} 4 d y + \int_{- 4}^{2} - \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Étape 4.4

Appliquez la règle de la constante.

$4 y]_{- 4}^{2} + \int_{- 4}^{2} - \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Étape 4.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 y]_{- 4}^{2} - \int_{- 4}^{2} \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Étape 4.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$4 y]_{- 4}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{- 4}^{2} y^{2} d y) + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Étape 4.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Étape 4.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - \int_{- 4}^{2} y d y$

Étape 4.9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{2})$

Étape 4.10

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.10.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

Étape 4.10.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.10.2.1

Évaluez $4 y$ sur $2$ et sur $- 4$ .

$(4 \cdot 2) - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

Étape 4.10.2.2

Évaluez $\frac{1}{3} y^{3}$ sur $2$ et sur $- 4$ .

$4 \cdot 2 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

Étape 4.10.2.3

Évaluez $\frac{y^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $- 4$ .

$4 \cdot 2 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4

Simplifiez

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Étape 4.10.2.4.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$8 + 16 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4.3

Additionnez $8$ et $16$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4.5

Associez $\frac{1}{3}$ et $8$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4.6

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 64) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4.7

Multipliez $- 64$ par $- 1$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 64 (\frac{1}{3})) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4.8

Associez $64$ et $\frac{1}{3}$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{64}{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{8 + 64}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4.10

Additionnez $8$ et $64$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{72}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4.11

Annulez le facteur commun à $72$ et $3$ .

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Étape 4.10.2.4.11.1

Factorisez $3$ à partir de $72$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.10.2.4.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 (1)} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 \cdot 1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{24}{1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4.11.2.4

Divisez $24$ par $1$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot 24 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4.12

Multipliez $24$ par $- 1$ .

$24 - 24 (\frac{1}{2}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4.13

Associez $- 24$ et $\frac{1}{2}$ .

$24 + \frac{- 24}{2} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4.14

Annulez le facteur commun à $- 24$ et $2$ .

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Étape 4.10.2.4.14.1

Factorisez $2$ à partir de $- 24$ .

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.10.2.4.14.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$24 + \frac{- 12}{1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4.14.2.4

Divisez $- 12$ par $1$ .

$24 - 12 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4.15

Soustrayez $12$ de $24$ .

$12 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4.16

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$12 - (\frac{4}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4.17

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.10.2.4.17.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4.17.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.10.2.4.17.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4.17.2.2

Annulez le facteur commun.

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$12 - (\frac{2}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4.17.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$12 - (2 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.4.18

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$12 - (2 - \frac{16}{2})$

Étape 4.10.2.4.19

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 4.10.2.4.19.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2})$

Étape 4.10.2.4.19.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.10.2.4.19.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Étape 4.10.2.4.19.2.2

Annulez le facteur commun.

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Étape 4.10.2.4.19.2.3

Réécrivez l’expression.

$12 - (2 - \frac{8}{1})$

Étape 4.10.2.4.19.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$12 - (2 - 1 \cdot 8)$

Étape 4.10.2.4.20

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$12 - (2 - 8)$

Étape 4.10.2.4.21

Soustrayez $8$ de $2$ .

$12 - - 6$

Étape 4.10.2.4.22

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$12 + 6$

Étape 4.10.2.4.23

Additionnez $12$ et $6$ .

$18$

Étape 5