Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 2}^{2} \sqrt{4 - x^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $x = 2 \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 2 \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ est positif.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sin (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{4 \cos^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.6

Réécrivez $4 \cos^{2} (t)$ comme ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 2 \cos (t) (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 \cos (t) \cos (t) d t$

Étape 2.2.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Étape 2.2.3

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Étape 2.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Étape 2.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 \cos^{2} (t) d t$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Étape 4

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (t)$ en $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$4 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{4}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 6.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$2 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Étape 9

Laissez $u = 2 t$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 9.1

Laissez $u = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 9.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 9.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 9.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{2}$ dans le numérateur.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Étape 9.3.2

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Étape 9.3.3

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = - π$

Étape 9.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 9.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.5.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 9.5.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = π$

Étape 9.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Étape 9.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 10

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 11

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u) d u)$

Étape 12

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Étape 13

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (u)]_{- π}^{π}$ .

$2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{π}}{2})$

Étape 14

Remplacez et simplifiez.

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Étape 14.1

Évaluez $t$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $- \frac{π}{2}$ .

$2 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{π}}{2})$

Étape 14.2

Évaluez $\sin (u)$ sur $π$ et sur $- π$ .

$2 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Étape 14.3

Simplifiez

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Étape 14.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Étape 14.3.2

Additionnez $π$ et $π$ .

$2 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Étape 14.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Étape 14.3.3.2

Divisez $π$ par $1$ .

$2 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$2 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$2 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

Étape 15.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$2 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

Étape 15.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$2 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

Étape 15.1.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$2 (π + \frac{0 - 0}{2})$

Étape 15.1.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 (π + \frac{0 + 0}{2})$

Étape 15.1.6

Additionnez $0$ et $0$ .

$2 (π + \frac{0}{2})$

Étape 15.2

Divisez $0$ par $2$ .

$2 (π + 0)$

Étape 16

Additionnez $π$ et $0$ .

$2 π$

Étape 17

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 π$

Forme décimale :

$6.28318530 \dots$

Étape 18