Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} (x^{2} + 1) e^{- x} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2} + 1$ et $d v = e^{- x}$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} (2 x) d x$

Étape 2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - 2 e^{- x} x d x$

Étape 3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} - (- 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x)$

Étape 4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- x}$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} d x)$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Étape 7.2

Multipliez $\int_{0}^{1} e^{- x} d x$ par $1$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Étape 8

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 8.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 8.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 8.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Étape 8.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 8.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Étape 8.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Étape 8.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Étape 8.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u)$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 1} e^{u} d u)$

Étape 10

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Étape 11

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.1

Évaluez $(x^{2} + 1) (- e^{- x})$ sur $1$ et sur $0$ .

$((1^{2} + 1) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Étape 11.2

Évaluez $x (- e^{- x})$ sur $1$ et sur $0$ .

$((1^{2} + 1) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Étape 11.3

Évaluez $e^{u}$ sur $- 1$ et sur $0$ .

$((1^{2} + 1) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4

Simplifiez

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Étape 11.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(1 + 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 (- e^{- 1}) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 e^{- 1} - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 2 e^{- 1} - (0 + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 \cdot 1 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.8

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 (- e^{0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.9

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 (- 1 \cdot 1) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 \cdot - 1 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.11

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.12

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (1 (- e^{- 1}) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.13

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.14

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.15

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.16

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 \cdot - 1 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.17

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.18

Additionnez $- e^{- 1}$ et $0$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Étape 11.4.19

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1 \cdot 1))$

Étape 11.4.20

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{e} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Étape 12.1.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{e}$ .

$\frac{- 2}{e} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Étape 12.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Étape 12.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- \frac{1}{e} - (e^{- 1} - 1))$

Étape 12.1.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- \frac{1}{e} - (\frac{1}{e} - 1))$

Étape 12.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} - - 1)$

Étape 12.1.4.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1)$

Étape 12.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (1 + \frac{- 1 - 1}{e})$

Étape 12.1.6

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (1 + \frac{- 2}{e})$

Étape 12.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (1 - \frac{2}{e})$

Étape 12.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 \cdot 1 + 2 (- \frac{2}{e})$

Étape 12.1.9

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 + 2 (- \frac{2}{e})$

Étape 12.1.10

Multipliez $2 (- \frac{2}{e})$ .

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Étape 12.1.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 - 2 \frac{2}{e}$

Étape 12.1.10.2

Associez $- 2$ et $\frac{2}{e}$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 + \frac{- 2 \cdot 2}{e}$

Étape 12.1.10.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 + \frac{- 4}{e}$

Étape 12.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 - \frac{4}{e}$

Étape 12.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 + 2 + \frac{- 2 - 4}{e}$

Étape 12.3

Soustrayez $4$ de $- 2$ .

$1 + 2 + \frac{- 6}{e}$

Étape 12.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 + 2 - \frac{6}{e}$

Étape 12.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 - \frac{6}{e}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$3 - \frac{6}{e}$

Forme décimale :

$0.79272335 \dots$

Étape 14