Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{1 + 7 x} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 + 7 x$ . Alors $d u = 7 d x$ , donc $\frac{1}{7} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 + 7 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 + 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 7 x]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 7 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 7 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 7 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$0 + 7$

Étape 1.1.4

Additionnez $0$ et $7$ .

$7$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 + 7 x$ .

$u_{lower} = 1 + 7 \cdot 0$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez $7$ par $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 + 7 x$ .

$u_{upper} = 1 + 7 \cdot 1$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $7$ par $1$ .

$u_{upper} = 1 + 7$

Étape 1.5.2

Additionnez $1$ et $7$ .

$u_{upper} = 8$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} \frac{1}{7} d u$

Étape 2

Associez $\sqrt[3]{u}$ et $\frac{1}{7}$ .

$\int_{1}^{8} \frac{\sqrt[3]{u}}{7} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{7}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{7}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{7} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{u}$ comme $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{7} \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{7} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ sur $8$ et sur $1$ .

$\frac{1}{7} ((\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2.4

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2.5

Associez $\frac{3}{4}$ et $16$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2.6

Multipliez $3$ par $16$ .

$\frac{1}{7} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2.7

Annulez le facteur commun à $48$ et $4$ .

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Étape 6.2.7.1

Factorisez $4$ à partir de $48$ .

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{7} (\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2.7.2.4

Divisez $12$ par $1$ .

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Étape 6.2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4})$

Étape 6.2.10

Pour écrire $12$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{7} (12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4})$

Étape 6.2.11

Associez $12$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4})$

Étape 6.2.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{12 \cdot 4 - 3}{4}$

Étape 6.2.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.13.1

Multipliez $12$ par $4$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{48 - 3}{4}$

Étape 6.2.13.2

Soustrayez $3$ de $48$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{45}{4}$

Étape 6.2.14

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $\frac{45}{4}$ .

$\frac{45}{7 \cdot 4}$

Étape 6.2.15

Multipliez $7$ par $4$ .

$\frac{45}{28}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{45}{28}$

Forme décimale :

$1.60714285 \dots$

Forme de nombre mixte :

$1 \frac{17}{28}$

Étape 8