Calcul infinitésimal Exemples

Trouver le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle f(x)=3x^4-x^6 , [-1,2]
,
Étape 1
Déterminez les points critiques.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.1.2.3
Multipliez par .
Étape 1.1.1.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.1.3.3
Multipliez par .
Étape 1.1.1.4
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 1.1.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 1.2
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 1.2.2
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.2.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.3
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 1.2.4
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.1
Définissez égal à .
Étape 1.2.4.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.2.1
Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.
Étape 1.2.4.2.2
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.2.2.1
Réécrivez comme .
Étape 1.2.4.2.2.2
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.
Étape 1.2.5
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.1
Définissez égal à .
Étape 1.2.5.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.2.1
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.5.2.2
Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.
Étape 1.2.5.2.3
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.2.3.1
Commencez par utiliser la valeur positive du pour déterminer la première solution.
Étape 1.2.5.2.3.2
Ensuite, utilisez la valeur négative du pour déterminer la deuxième solution.
Étape 1.2.5.2.3.3
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Étape 1.2.6
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 1.3
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 1.4
Évaluez sur chaque valeur où la dérivée est ou indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.1
Remplacez par .
Étape 1.4.1.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 1.4.1.2.1.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.1.3
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 1.4.1.2.1.4
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.2
Additionnez et .
Étape 1.4.2
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.1
Remplacez par .
Étape 1.4.2.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.1.1
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.1.1.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 1.4.2.2.1.1.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 1.4.2.2.1.1.3
Associez et .
Étape 1.4.2.2.1.1.4
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.1.1.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.4.2.2.1.1.4.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.1.1.4.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.4.2.2.1.1.4.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.4.2.2.1.1.4.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.4.2.2.1.1.4.2.4
Divisez par .
Étape 1.4.2.2.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 1.4.2.2.1.3
Multipliez par .
Étape 1.4.2.2.1.4
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.1.4.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 1.4.2.2.1.4.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 1.4.2.2.1.4.3
Associez et .
Étape 1.4.2.2.1.4.4
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.1.4.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.4.2.2.1.4.4.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.1.4.4.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.4.2.2.1.4.4.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.4.2.2.1.4.4.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.4.2.2.1.4.4.2.4
Divisez par .
Étape 1.4.2.2.1.5
Élevez à la puissance .
Étape 1.4.2.2.1.6
Multipliez par .
Étape 1.4.2.2.2
Soustrayez de .
Étape 1.4.3
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.3.1
Remplacez par .
Étape 1.4.3.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.3.2.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 1.4.3.2.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 1.4.3.2.1.3
Multipliez par .
Étape 1.4.3.2.1.4
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.3.2.1.4.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 1.4.3.2.1.4.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 1.4.3.2.1.4.3
Associez et .
Étape 1.4.3.2.1.4.4
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.3.2.1.4.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.4.3.2.1.4.4.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.3.2.1.4.4.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.4.3.2.1.4.4.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.4.3.2.1.4.4.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.4.3.2.1.4.4.2.4
Divisez par .
Étape 1.4.3.2.1.5
Élevez à la puissance .
Étape 1.4.3.2.1.6
Multipliez par .
Étape 1.4.3.2.1.7
Appliquez la règle de produit à .
Étape 1.4.3.2.1.8
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.3.2.1.8.1
Déplacez .
Étape 1.4.3.2.1.8.2
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.3.2.1.8.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.4.3.2.1.8.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.4.3.2.1.8.3
Additionnez et .
Étape 1.4.3.2.1.9
Élevez à la puissance .
Étape 1.4.3.2.1.10
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.3.2.1.10.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 1.4.3.2.1.10.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 1.4.3.2.1.10.3
Associez et .
Étape 1.4.3.2.1.10.4
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.3.2.1.10.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.4.3.2.1.10.4.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.3.2.1.10.4.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.4.3.2.1.10.4.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.4.3.2.1.10.4.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.4.3.2.1.10.4.2.4
Divisez par .
Étape 1.4.3.2.1.11
Élevez à la puissance .
Étape 1.4.3.2.1.12
Multipliez par .
Étape 1.4.3.2.2
Soustrayez de .
Étape 1.4.4
Indiquez tous les points.
Étape 2
Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.
Étape 3
Évaluez sur les points finaux inclus.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.1
Remplacez par .
Étape 3.1.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 3.1.2.1.2
Multipliez par .
Étape 3.1.2.1.3
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.2.1.3.1
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.2.1.3.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 3.1.2.1.3.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.1.2.1.3.2
Additionnez et .
Étape 3.1.2.1.4
Élevez à la puissance .
Étape 3.1.2.2
Soustrayez de .
Étape 3.2
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.1
Remplacez par .
Étape 3.2.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 3.2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 3.2.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 3.2.2.1.4
Multipliez par .
Étape 3.2.2.2
Soustrayez de .
Étape 3.3
Indiquez tous les points.
Étape 4
Comparez les valeurs trouvées pour chaque valeur de afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur la plus haute et le minimum intervient sur la valeur la plus basse.
Maximum absolu :
Minimum absolu :
Étape 5