Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 2 x^{3} + 21 x^{2} - 36 x$ on $0$ , $7$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x^{3} + 21 x^{2} - 36 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [21 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $21$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $21 x^{2}$ par rapport à $x$ est $21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 6 x^{2} + 21 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 6 x^{2} + 21 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $21$ .

$- 6 x^{2} + 42 x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36 x$ par rapport à $x$ est $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x^{2} + 42 x - 36 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 x^{2} + 42 x - 36 \cdot 1$

Étape 1.1.1.4.3

Multipliez $- 36$ par $1$ .

$f' (x) = - 6 x^{2} + 42 x - 36$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 6 x^{2} + 42 x - 36$ .

$- 6 x^{2} + 42 x - 36$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 6 x^{2} + 42 x - 36 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 6 x^{2} + 42 x - 36 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $- 6$ à partir de $- 6 x^{2} + 42 x - 36$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $- 6$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$- 6 x^{2} + 42 x - 36 = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $- 6$ à partir de $42 x$ .

$- 6 x^{2} - 6 (- 7 x) - 36 = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $- 6$ à partir de $- 36$ .

$- 6 x^{2} - 6 (- 7 x) - 6 \cdot 6 = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Factorisez $- 6$ à partir de $- 6 (x^{2}) - 6 (- 7 x)$ .

$- 6 (x^{2} - 7 x) - 6 \cdot 6 = 0$

Étape 1.2.2.1.5

Factorisez $- 6$ à partir de $- 6 (x^{2} - 7 x) - 6 (6)$ .

$- 6 (x^{2} - 7 x + 6) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez.

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Étape 1.2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 7 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 6, - 1$

Étape 1.2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 6 ((x - 6) (x - 1)) = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 6 (x - 6) (x - 1) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 1.2.4.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 6 (x - 6) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 6, 1$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $- 2 x^{3} + 21 x^{2} - 36 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 6$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $6$ .

$- 2 {(6)}^{3} + 21 {(6)}^{2} - 36 \cdot 6$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$- 2 \cdot 216 + 21 {(6)}^{2} - 36 \cdot 6$

Étape 1.4.1.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $216$ .

$- 432 + 21 {(6)}^{2} - 36 \cdot 6$

Étape 1.4.1.2.1.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$- 432 + 21 \cdot 36 - 36 \cdot 6$

Étape 1.4.1.2.1.4

Multipliez $21$ par $36$ .

$- 432 + 756 - 36 \cdot 6$

Étape 1.4.1.2.1.5

Multipliez $- 36$ par $6$ .

$- 432 + 756 - 216$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Additionnez $- 432$ et $756$ .

$324 - 216$

Étape 1.4.1.2.2.2

Soustrayez $216$ de $324$ .

$108$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$- 2 {(1)}^{3} + 21 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 2 \cdot 1 + 21 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1$

Étape 1.4.2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 + 21 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1$

Étape 1.4.2.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 2 + 21 \cdot 1 - 36 \cdot 1$

Étape 1.4.2.2.1.4

Multipliez $21$ par $1$ .

$- 2 + 21 - 36 \cdot 1$

Étape 1.4.2.2.1.5

Multipliez $- 36$ par $1$ .

$- 2 + 21 - 36$

Étape 1.4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.2.2.2.1

Additionnez $- 2$ et $21$ .

$19 - 36$

Étape 1.4.2.2.2.2

Soustrayez $36$ de $19$ .

$- 17$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(6, 108), (1, - 17)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$- 2 {(0)}^{3} + 21 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 2 \cdot 0 + 21 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$0 + 21 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0$

Étape 2.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 21 \cdot 0 - 36 \cdot 0$

Étape 2.1.2.1.4

Multipliez $21$ par $0$ .

$0 + 0 - 36 \cdot 0$

Étape 2.1.2.1.5

Multipliez $- 36$ par $0$ .

$0 + 0 + 0$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0$

Étape 2.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 7$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $7$ .

$- 2 {(7)}^{3} + 21 {(7)}^{2} - 36 \cdot 7$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$- 2 \cdot 343 + 21 {(7)}^{2} - 36 \cdot 7$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $343$ .

$- 686 + 21 {(7)}^{2} - 36 \cdot 7$

Étape 2.2.2.1.3

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$- 686 + 21 \cdot 49 - 36 \cdot 7$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $21$ par $49$ .

$- 686 + 1029 - 36 \cdot 7$

Étape 2.2.2.1.5

Multipliez $- 36$ par $7$ .

$- 686 + 1029 - 252$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.2.2.1

Additionnez $- 686$ et $1029$ .

$343 - 252$

Étape 2.2.2.2.2

Soustrayez $252$ de $343$ .

$91$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (7, 91)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(6, 108)$

Minimum absolu : $(1, - 17)$

Étape 4