Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 \sin (x) \cos (x)$ , $[\frac{π}{4}, π]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \sin (x) \cos (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$3 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 1.1.1.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$3 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 1.1.1.4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$3 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 1.1.1.5

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$3 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 1.1.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 1.1.1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 1.1.1.8

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Étape 1.1.1.9

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Étape 1.1.1.10

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Étape 1.1.1.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Étape 1.1.1.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Étape 1.1.1.13

Simplifiez

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Étape 1.1.1.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x)$

Étape 1.1.1.13.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = - 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$ .

$- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 \sin^{2} (x)$ .

$3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 \cos^{2} (x)$ .

$3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x)$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 1.2.2.2

Remettez dans l’ordre $- \sin^{2} (x)$ et $\cos^{2} (x)$ .

$3 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez.

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Étape 1.2.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos (x)$ et $b = \sin (x)$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))) = 0$

Étape 1.2.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $\cos (x) + \sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $\cos (x) + \sin (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $\cos (x) + \sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 1.2.4.2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 1.2.4.2.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 1.2.4.2.4

Séparez les fractions.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 1.2.4.2.5

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 1.2.4.2.6

Divisez $0$ par $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Étape 1.2.4.2.7

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Étape 1.2.4.2.8

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\tan (x) = - 1$

Étape 1.2.4.2.9

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Étape 1.2.4.2.10

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.10.1

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 1.2.4.2.11

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Étape 1.2.4.2.12

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 1.2.4.2.12.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Étape 1.2.4.2.12.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{4}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 1.2.4.2.13

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 1.2.4.2.13.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 1.2.4.2.13.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 1.2.4.2.13.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 1.2.4.2.13.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 1.2.4.2.14

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 1.2.4.2.14.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + π$

Étape 1.2.4.2.14.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 1.2.4.2.14.3

Associez les fractions.

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Étape 1.2.4.2.14.3.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 1.2.4.2.14.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 1.2.4.2.14.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.2.14.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 1.2.4.2.14.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Étape 1.2.4.2.14.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 1.2.4.2.15

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.5

Définissez $\cos (x) - \sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $\cos (x) - \sin (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $\cos (x) - \sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 1.2.5.2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 1.2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 1.2.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 1.2.5.2.3

Séparez les fractions.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 1.2.5.2.4

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 1.2.5.2.5

Divisez $- 1$ par $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 1.2.5.2.6

Séparez les fractions.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 1.2.5.2.7

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 1.2.5.2.8

Divisez $0$ par $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Étape 1.2.5.2.9

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Étape 1.2.5.2.10

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \tan (x) = - 1$

Étape 1.2.5.2.11

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.5.2.11.1

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.5.2.11.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.2.11.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.5.2.11.2.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.5.2.11.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.11.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Étape 1.2.5.2.12

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Étape 1.2.5.2.13

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.13.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 1.2.5.2.14

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{4}$

Étape 1.2.5.2.15

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 1.2.5.2.15.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 1.2.5.2.15.2

Associez les fractions.

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Étape 1.2.5.2.15.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 1.2.5.2.15.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 1.2.5.2.15.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.15.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 1.2.5.2.15.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 1.2.5.2.16

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 1.2.5.2.16.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 1.2.5.2.16.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 1.2.5.2.16.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 1.2.5.2.16.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 1.2.5.2.17

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ vraie.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.7

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $3 \sin (x) \cos (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = \frac{π}{4}$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{π}{4}$ .

$3 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Étape 1.4.1.2.2

Associez $3$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Étape 1.4.1.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.4.1.2.4

Multipliez $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.4.1.2.4.1

Multipliez $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.1.2.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.1.2.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.1.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.1.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.1.2.4.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Étape 1.4.1.2.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.4.1.2.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Étape 1.4.1.2.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 1.4.1.2.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 1.4.1.2.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.1.2.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 1.4.1.2.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \cdot 2^{1}}{4}$

Étape 1.4.1.2.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3 \cdot 2}{4}$

Étape 1.4.1.2.6

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6}{4}$

Étape 1.4.1.2.7

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

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Étape 1.4.1.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (3)}{4}$

Étape 1.4.1.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1.2.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.1.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.1.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{2}$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{3 π}{4}$ .

$3 \sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$3 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

Étape 1.4.2.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{3 π}{4})$

Étape 1.4.2.2.3

Associez $3$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cos (\frac{3 π}{4})$

Étape 1.4.2.2.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \cos (\frac{π}{4}))$

Étape 1.4.2.2.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 1.4.2.2.6

Multipliez $\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Étape 1.4.2.2.6.1

Multipliez $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.2.2.6.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.2.2.6.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.2.2.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.2.2.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.2.2.6.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Étape 1.4.2.2.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Étape 1.4.2.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 1.4.2.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 1.4.2.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 1.4.2.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3 \cdot 2^{1}}{4}$

Étape 1.4.2.2.7.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{3 \cdot 2}{4}$

Étape 1.4.2.2.8

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{6}{4}$

Étape 1.4.2.2.9

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

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Étape 1.4.2.2.9.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$- \frac{2 (3)}{4}$

Étape 1.4.2.2.9.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.2.2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.2.2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3}{2}$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{π}{4} + π n, \frac{3}{2}), (\frac{3 π}{4} + π n, - \frac{3}{2})$ , pour tout entier $n$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(\frac{π}{4}, \frac{3}{2}), (\frac{3 π}{4}, - \frac{3}{2})$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = \frac{π}{4}$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{π}{4}$ .

$3 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Étape 3.1.2.2

Associez $3$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Étape 3.1.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.1.2.4

Multipliez $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 3.1.2.4.1

Multipliez $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.2.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.2.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.2.4.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Étape 3.1.2.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.1.2.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Étape 3.1.2.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 3.1.2.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 3.1.2.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 3.1.2.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \cdot 2^{1}}{4}$

Étape 3.1.2.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3 \cdot 2}{4}$

Étape 3.1.2.6

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6}{4}$

Étape 3.1.2.7

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

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Étape 3.1.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (3)}{4}$

Étape 3.1.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{2}$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = π$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $π$ .

$3 \sin (π) \cos (π)$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$3 \sin (0) \cos (π)$

Étape 3.2.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$3 \cdot 0 \cos (π)$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$0 \cos (π)$

Étape 3.2.2.4

$0 (- \cos (0))$

Étape 3.2.2.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1)$

Étape 3.2.2.6

Multipliez $0 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 3.2.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 \cdot - 1$

Étape 3.2.2.6.2

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{π}{4}, \frac{3}{2}), (π, 0)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(\frac{π}{4}, \frac{3}{2})$

Minimum absolu : $(\frac{3 π}{4}, - \frac{3}{2})$

Étape 5