Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (x) \cos (x)$ , $[0, 2 π]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.1.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.1.4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.1.7

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)$

Étape 1.1.1.8

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

Étape 1.1.1.9

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Étape 1.1.1.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

Étape 1.1.1.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Étape 1.1.1.12

Simplifiez

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Étape 1.1.1.12.1

Remettez dans l’ordre $- \sin^{2} (x)$ et $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Étape 1.1.1.12.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos (x)$ et $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 1.1.1.12.3

Développez $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1.12.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 1.1.1.12.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 1.1.1.12.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 1.1.1.12.4

Associez les termes opposés dans $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Étape 1.1.1.12.4.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\cos (x) (- \sin (x))$ et $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 1.1.1.12.4.2

Additionnez $- \cos (x) \sin (x)$ et $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 1.1.1.12.4.3

Additionnez $\cos (x) \cos (x)$ et $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 1.1.1.12.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.12.5.1

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 1.1.1.12.5.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 1.1.1.12.5.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 1.1.1.12.5.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 1.1.1.12.5.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 1.1.1.12.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Étape 1.1.1.12.5.3

Multipliez $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 1.1.1.12.5.3.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Étape 1.1.1.12.5.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Étape 1.1.1.12.5.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Étape 1.1.1.12.5.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Étape 1.1.1.12.6

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$f' (x) = \cos (2 x)$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (2 x)$ .

$\cos (2 x)$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\cos (2 x) = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\cos (2 x) = 0$

Étape 1.2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$2 x = \arccos (0)$

Étape 1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Étape 1.2.4

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.4.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 1.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.2.4.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.2.4.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 1.2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez

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Étape 1.2.6.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.6.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.6.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 1.2.6.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 1.2.6.1.5

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Étape 1.2.6.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.6.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 1.2.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 1.2.6.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 1.2.6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.6.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.2.6.2.3.2

Multipliez $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.2.6.2.3.2.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.6.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 1.2.7

Déterminez la période de $\cos (2 x)$ .

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Étape 1.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.7.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 1.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 1.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 1.2.7.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 1.2.8

La période de la fonction $\cos (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.9

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $\sin (x) \cos (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = \frac{π}{4}$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{π}{4}$ .

$\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Étape 1.4.1.2.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.4.1.2.3

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.1.2.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.1.2.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.1.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.1.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.1.2.3.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Étape 1.4.1.2.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.4.1.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Étape 1.4.1.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 1.4.1.2.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 1.4.1.2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.1.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 1.4.1.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2^{1}}{4}$

Étape 1.4.1.2.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2}{4}$

Étape 1.4.1.2.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 1.4.1.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Étape 1.4.1.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.1.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.1.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2}$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{3 π}{4}$ .

$\sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

Étape 1.4.2.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{3 π}{4})$

Étape 1.4.2.2.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \cos (\frac{π}{4}))$

Étape 1.4.2.2.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 1.4.2.2.5

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Étape 1.4.2.2.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.2.2.5.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.2.2.5.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.2.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.2.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.2.2.5.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Étape 1.4.2.2.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.4.2.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Étape 1.4.2.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 1.4.2.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 1.4.2.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 1.4.2.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2^{1}}{4}$

Étape 1.4.2.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{2}{4}$

Étape 1.4.2.2.7

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 1.4.2.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{4}$

Étape 1.4.2.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.2.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.2.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.2.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2}$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{π}{4} + π n, \frac{1}{2}), (\frac{3 π}{4} + π n, - \frac{1}{2})$ , pour tout entier $n$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(\frac{π}{4}, \frac{1}{2}), (\frac{5 π}{4}, \frac{1}{2}), (\frac{3 π}{4}, - \frac{1}{2}), (\frac{7 π}{4}, - \frac{1}{2})$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\sin (0) \cos (0)$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0 \cos (0)$

Étape 3.1.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$0 \cdot 1$

Étape 3.1.2.3

Multipliez $0$ par $1$ .

$0$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 2 π$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $2 π$ .

$\sin (2 π) \cos (2 π)$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\sin (0) \cos (2 π)$

Étape 3.2.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0 \cos (2 π)$

Étape 3.2.2.3

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$0 \cos (0)$

Étape 3.2.2.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$0 \cdot 1$

Étape 3.2.2.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$0$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (2 π, 0)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(\frac{π}{4}, \frac{1}{2}), (\frac{5 π}{4}, \frac{1}{2})$

Minimum absolu : $(\frac{3 π}{4}, - \frac{1}{2}), (\frac{7 π}{4}, - \frac{1}{2})$

Étape 5