Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - \frac{1}{x}$ , $- 2 \leq x \leq - 1$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez.

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Étape 1.1.1.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2.3.2

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Étape 1.1.1.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.2.5.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Étape 1.1.1.2.5.2

Additionnez $x^{- 2}$ et $0$ .

$x^{- 2}$

Étape 1.1.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 1.2.3

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 1.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 1.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 1.3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.4

Évaluez $- \frac{1}{x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$- \frac{1}{0}$

Étape 1.4.1.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 1.5

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$- \frac{1}{- 2}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{1}{2}$

Étape 2.1.2.2

Multipliez $- - \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Étape 2.1.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{- 1}$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$- - 1$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 2, \frac{1}{2}), (- 1, 1)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(- 1, 1)$

Minimum absolu : $(- 2, \frac{1}{2})$

Étape 4