Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$ , $[0, 4]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $\frac{2}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.2.6.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.2.7

Associez $\frac{5}{2}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.2.8

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.2.9

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.2.10

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.2.11

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.2.12

Divisez $x^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- \frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.3.6.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.3.7

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.3.8

Multipliez $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ par $\frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.3.9

Multipliez $2$ par $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.3.10

Multipliez $2$ par $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.3.11

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.3.12

Divisez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} + 0$

Étape 1.1.1.4.2

Additionnez $x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}}$ et $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 1.2.2

Déterminez un facteur commun $x^{\frac{1}{2}}$ présent dans chaque terme.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{3} - x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.3

Remplacez $x^{\frac{1}{2}}$ par $u$ .

${(u)}^{3} - (u) = 0$

Étape 1.2.4

Résolvez $u$ .

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Étape 1.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $u$ .

$u^{3} - u = 0$

Étape 1.2.4.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.4.2.1

Factorisez $u$ à partir de $u^{3} - u$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1

Factorisez $u$ à partir de $u^{3}$ .

$u \cdot u^{2} - u = 0$

Étape 1.2.4.2.1.2

Factorisez $u$ à partir de $- u$ .

$u \cdot u^{2} + u \cdot - 1 = 0$

Étape 1.2.4.2.1.3

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot u^{2} + u \cdot - 1$ .

$u (u^{2} - 1) = 0$

Étape 1.2.4.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$u (u^{2} - 1^{2}) = 0$

Étape 1.2.4.2.3

Factorisez.

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Étape 1.2.4.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = u$ et $b = 1$ .

$u ((u + 1) (u - 1)) = 0$

Étape 1.2.4.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$u (u + 1) (u - 1) = 0$

Étape 1.2.4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u = 0$

$u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Étape 1.2.4.4

Définissez $u$ égal à $0$ .

$u = 0$

Étape 1.2.4.5

Définissez $u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 1.2.4.5.1

Définissez $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 1.2.4.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 1.2.4.6

Définissez $u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 1.2.4.6.1

Définissez $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 1.2.4.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 1.2.4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $u (u + 1) (u - 1) = 0$ vraie.

$u = 0, - 1, 1$

Étape 1.2.5

Remplacez $u$ par $x$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0, - 1, 1$

Étape 1.2.6

Résolvez $x^{\frac{1}{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 1.2.6.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 1.2.6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.6.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.6.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 1.2.6.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.6.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 1.2.6.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{2}$

Étape 1.2.6.2.1.1.2

Simplifiez

$x = 0^{2}$

Étape 1.2.6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.6.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.7

Résolvez $x^{\frac{1}{2}} = - 1$ pour $x$ .

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Étape 1.2.7.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 1.2.7.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 1.2.7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.7.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.7.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.7.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 1.2.7.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.7.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 1.2.7.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(- 1)}^{2}$

Étape 1.2.7.2.1.1.2

Simplifiez

$x = {(- 1)}^{2}$

Étape 1.2.7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.7.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = 1$

Étape 1.2.8

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0, 1, 1$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 1.3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\sqrt{x^{3}} - x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.3.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\sqrt{x^{3}} - \sqrt{x^{1}}$

Étape 1.3.1.3

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\sqrt{x^{3}} - \sqrt{x}$

Étape 1.3.2

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{3}}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} < 0$

Étape 1.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Étape 1.3.3.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 1.3.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.3.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Étape 1.3.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.2.2.1

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 1.3.3.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 1.3.3.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x < 0$

Étape 1.3.4

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{2 {(0)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.2.1.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 1.4.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 1.4.1.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.1.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 1.4.1.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 1.4.1.2.1.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 1.4.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 1.4.1.2.1.3

Divisez $0$ par $5$ .

$0 - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 1.4.1.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.2.1.4.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$0 - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 1.4.1.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - 6$

Étape 1.4.1.2.1.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.1.2.1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$0 - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - 6$

Étape 1.4.1.2.1.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$0 - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3} - 6$

Étape 1.4.1.2.1.4.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - \frac{2 \cdot 0}{3} - 6$

Étape 1.4.1.2.1.5

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 - \frac{0}{3} - 6$

Étape 1.4.1.2.1.6

Divisez $0$ par $3$ .

$0 - 0 - 6$

Étape 1.4.1.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 0 - 6$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - 6$

Étape 1.4.1.2.2.2

Soustrayez $6$ de $0$ .

$- 6$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\frac{2 {(1)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 {(1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2 \cdot 1}{5} - \frac{2 {(1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 1.4.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2}{5} - \frac{2 {(1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 1.4.2.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2}{5} - \frac{2 \cdot 1}{3} - 6$

Étape 1.4.2.2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2}{5} - \frac{2}{3} - 6$

Étape 1.4.2.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.2.1

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} - 6$

Étape 1.4.2.2.2.2

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2}{3} - 6$

Étape 1.4.2.2.2.3

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} - (\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}) - 6$

Étape 1.4.2.2.2.4

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} - 6$

Étape 1.4.2.2.2.5

Écrivez $- 6$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6}{1}$

Étape 1.4.2.2.2.6

Multipliez $\frac{- 6}{1}$ par $\frac{15}{15}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{15}{15}$

Étape 1.4.2.2.2.7

Multipliez $\frac{- 6}{1}$ par $\frac{15}{15}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6 \cdot 15}{15}$

Étape 1.4.2.2.2.8

Réorganisez les facteurs de $5 \cdot 3$ .

$\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 5} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6 \cdot 15}{15}$

Étape 1.4.2.2.2.9

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{2 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6 \cdot 15}{15}$

Étape 1.4.2.2.2.10

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{2 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{15} + \frac{- 6 \cdot 15}{15}$

Étape 1.4.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \cdot 3 - 2 \cdot 5 - 6 \cdot 15}{15}$

Étape 1.4.2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.4.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 - 2 \cdot 5 - 6 \cdot 15}{15}$

Étape 1.4.2.2.4.2

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{6 - 10 - 6 \cdot 15}{15}$

Étape 1.4.2.2.4.3

Multipliez $- 6$ par $15$ .

$\frac{6 - 10 - 90}{15}$

Étape 1.4.2.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.2.2.5.1

Soustrayez $10$ de $6$ .

$\frac{- 4 - 90}{15}$

Étape 1.4.2.2.5.2

Soustrayez $90$ de $- 4$ .

$\frac{- 94}{15}$

Étape 1.4.2.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{94}{15}$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(0, - 6), (1, - \frac{94}{15})$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{2 {(0)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.1.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 2.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 2.1.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 2.1.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 2.1.2.1.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 2.1.2.1.3

Divisez $0$ par $5$ .

$0 - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 2.1.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.1.4.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$0 - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 2.1.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - 6$

Étape 2.1.2.1.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$0 - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - 6$

Étape 2.1.2.1.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$0 - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3} - 6$

Étape 2.1.2.1.4.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - \frac{2 \cdot 0}{3} - 6$

Étape 2.1.2.1.5

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 - \frac{0}{3} - 6$

Étape 2.1.2.1.6

Divisez $0$ par $3$ .

$0 - 0 - 6$

Étape 2.1.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 0 - 6$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - 6$

Étape 2.1.2.2.2

Soustrayez $6$ de $0$ .

$- 6$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$\frac{2 {(4)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.2.1.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 2.2.2.1.1.2

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 2.2.2.1.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 2.2.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 2.2.2.1.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot 2^{5}}{5} - \frac{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 2.2.2.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2^{1 + 5}}{5} - \frac{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 2.2.2.1.1.4

Additionnez $1$ et $5$ .

$\frac{2^{6}}{5} - \frac{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 2.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$\frac{64}{5} - \frac{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 2.2.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Étape 2.2.2.1.3.2

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 2.2.2.1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - 6$

Étape 2.2.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - 6$

Étape 2.2.2.1.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - 6$

Étape 2.2.2.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{64}{5} - \frac{2^{1 + 3}}{3} - 6$

Étape 2.2.2.1.3.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{64}{5} - \frac{2^{4}}{3} - 6$

Étape 2.2.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{64}{5} - \frac{16}{3} - 6$

Étape 2.2.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.2.2.2.1

Multipliez $\frac{64}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3} - 6$

Étape 2.2.2.2.2

Multipliez $\frac{64}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{16}{3} - 6$

Étape 2.2.2.2.3

Multipliez $\frac{16}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - (\frac{16}{3} \cdot \frac{5}{5}) - 6$

Étape 2.2.2.2.4

Multipliez $\frac{16}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5} - 6$

Étape 2.2.2.2.5

Écrivez $- 6$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6}{1}$

Étape 2.2.2.2.6

Multipliez $\frac{- 6}{1}$ par $\frac{15}{15}$ .

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{15}{15}$

Étape 2.2.2.2.7

Multipliez $\frac{- 6}{1}$ par $\frac{15}{15}$ .

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6 \cdot 15}{15}$

Étape 2.2.2.2.8

Réorganisez les facteurs de $5 \cdot 3$ .

$\frac{64 \cdot 3}{3 \cdot 5} - \frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6 \cdot 15}{15}$

Étape 2.2.2.2.9

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{64 \cdot 3}{15} - \frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6 \cdot 15}{15}$

Étape 2.2.2.2.10

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{64 \cdot 3}{15} - \frac{16 \cdot 5}{15} + \frac{- 6 \cdot 15}{15}$

Étape 2.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{64 \cdot 3 - 16 \cdot 5 - 6 \cdot 15}{15}$

Étape 2.2.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.4.1

Multipliez $64$ par $3$ .

$\frac{192 - 16 \cdot 5 - 6 \cdot 15}{15}$

Étape 2.2.2.4.2

Multipliez $- 16$ par $5$ .

$\frac{192 - 80 - 6 \cdot 15}{15}$

Étape 2.2.2.4.3

Multipliez $- 6$ par $15$ .

$\frac{192 - 80 - 90}{15}$

Étape 2.2.2.5

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.2.2.5.1

Soustrayez $80$ de $192$ .

$\frac{112 - 90}{15}$

Étape 2.2.2.5.2

Soustrayez $90$ de $112$ .

$\frac{22}{15}$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(0, - 6), (4, \frac{22}{15})$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(4, \frac{22}{15})$

Minimum absolu : $(1, - \frac{94}{15})$

Étape 4