Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$ , $[- 3, 1]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{\frac{x}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$x (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.3.2

Associez les fractions.

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Étape 1.1.1.3.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{\frac{x}{2}}$ .

$x (\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.3.2.2

Associez $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ et $x$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \cdot 1 + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.3.4

Multipliez $\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2}$ par $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1$

Étape 1.1.1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.3.6.1

Multipliez $e^{\frac{x}{2}}$ par $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Étape 1.1.1.3.6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $e^{\frac{x}{2}}$ à partir de $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $e^{\frac{x}{2}}$ à partir de $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2}) + e^{\frac{x}{2}} = 0$

Étape 1.2.2.2

Multipliez par $1$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2}) + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1 = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $e^{\frac{x}{2}}$ à partir de $e^{\frac{x}{2}} \frac{x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2} + 1) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{\frac{x}{2}} = 0$

$\frac{x}{2} + 1 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $e^{\frac{x}{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $e^{\frac{x}{2}}$ égal à $0$ .

$e^{\frac{x}{2}} = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $e^{\frac{x}{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{\frac{x}{2}}) = \ln (0)$

Étape 1.2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 1.2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{\frac{x}{2}} = 0$

Aucune solution

Étape 1.2.5

Définissez $\frac{x}{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $\frac{x}{2} + 1$ égal à $0$ .

$\frac{x}{2} + 1 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $\frac{x}{2} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{2} = - 1$

Étape 1.2.5.2.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

Étape 1.2.5.2.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 1.2.5.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.5.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

Étape 1.2.5.2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \cdot - 1$

Étape 1.2.5.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.3.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = - 2$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2} + 1) = 0$ vraie.

$x = - 2$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x e^{\frac{x}{2}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$(- 2) \cdot e^{\frac{- 2}{2}}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Divisez $- 2$ par $2$ .

$- 2 \cdot e^{- 1}$

Étape 1.4.1.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \cdot \frac{1}{e}$

Étape 1.4.1.2.3

Associez $- 2$ et $\frac{1}{e}$ .

$\frac{- 2}{e}$

Étape 1.4.1.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{e}$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(- 2, - \frac{2}{e})$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 3$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 3$ .

$(- 3) \cdot e^{\frac{- 3}{2}}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 3 \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Étape 2.1.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \cdot \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.3

Associez $- 3$ et $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 3}{e^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{e^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$(1) \cdot e^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.2.2

Multipliez $e^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$e^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 3, - \frac{3}{e^{\frac{3}{2}}}), (1, e^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(1, e^{\frac{1}{2}})$

Minimum absolu : $(- 2, - \frac{2}{e})$

Étape 4