Calcul infinitésimal Exemples

Trouver le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle f(x)=2x^3-27x^2+108x on 2 , 7
on ,
Étape 1
Déterminez les points critiques.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.1.2.3
Multipliez par .
Étape 1.1.1.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.1.3.3
Multipliez par .
Étape 1.1.1.4
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.4.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.4.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.1.4.3
Multipliez par .
Étape 1.1.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 1.2
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 1.2.2
Factorisez le côté gauche de l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.2.1
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.2.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.2.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.2.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.2.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.2.1.5
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.2.2
Factorisez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.2.2.1
Factorisez à l’aide de la méthode AC.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.2.2.1.1
Étudiez la forme . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est et dont la somme est . Dans ce cas, dont le produit est et dont la somme est .
Étape 1.2.2.2.1.2
Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.
Étape 1.2.2.2.2
Supprimez les parenthèses inutiles.
Étape 1.2.3
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 1.2.4
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.1
Définissez égal à .
Étape 1.2.4.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.5
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.1
Définissez égal à .
Étape 1.2.5.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.6
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 1.3
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 1.4
Évaluez sur chaque valeur où la dérivée est ou indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.1
Remplacez par .
Étape 1.4.1.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.4.1.2.1.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 1.4.1.2.1.4
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.1.5
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.2
Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.2.1
Soustrayez de .
Étape 1.4.1.2.2.2
Additionnez et .
Étape 1.4.2
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.1
Remplacez par .
Étape 1.4.2.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.4.2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 1.4.2.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 1.4.2.2.1.4
Multipliez par .
Étape 1.4.2.2.1.5
Multipliez par .
Étape 1.4.2.2.2
Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.2.1
Soustrayez de .
Étape 1.4.2.2.2.2
Additionnez et .
Étape 1.4.3
Indiquez tous les points.
Étape 2
Évaluez sur les points finaux inclus.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1
Remplacez par .
Étape 2.1.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.1.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.1.1.1
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.1.1.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.1.2.1.1.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.1.2.1.1.2
Additionnez et .
Étape 2.1.2.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 2.1.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 2.1.2.1.4
Multipliez par .
Étape 2.1.2.1.5
Multipliez par .
Étape 2.1.2.2
Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.2.1
Soustrayez de .
Étape 2.1.2.2.2
Additionnez et .
Étape 2.2
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.1
Remplacez par .
Étape 2.2.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 2.2.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 2.2.2.1.4
Multipliez par .
Étape 2.2.2.1.5
Multipliez par .
Étape 2.2.2.2
Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.2.2.1
Soustrayez de .
Étape 2.2.2.2.2
Additionnez et .
Étape 2.3
Indiquez tous les points.
Étape 3
Comparez les valeurs trouvées pour chaque valeur de afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur la plus haute et le minimum intervient sur la valeur la plus basse.
Maximum absolu :
Minimum absolu :
Étape 4