Calcul infinitésimal Exemples

$g (t) = \frac{t^{2}}{t^{2} + 3}$ , $[- 1, 1]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = t^{2} + 3$ .

$\frac{(t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(t^{2} + 3) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $t^{2} + 3$ .

$\frac{2 \cdot (t^{2} + 3) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + 3$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.5

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (2 t + 0)}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.6.1

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (2 t)}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 t^{2} t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 (t^{1} t^{2})}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 t^{1 + 2}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 t^{2} + 2 \cdot 3) t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 t^{2} t + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.6.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.6.3.1.1

Multipliez $t^{2}$ par $t$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.6.3.1.1.1

Déplacez $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t^{2}) + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.6.3.1.1.2

Multipliez $t$ par $t^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.6.3.1.1.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (t^{1} t^{2}) + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.6.3.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 t^{1 + 2} + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.6.3.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.6.3.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{2 t^{3} + 6 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.6.3.2

Associez les termes opposés dans $2 t^{3} + 6 t - 2 t^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.6.3.2.1

Soustrayez $2 t^{3}$ de $2 t^{3}$ .

$\frac{6 t + 0}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.1.6.3.2.2

Additionnez $6 t$ et $0$ .

$f' (t) = \frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $g (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$6 t = 0$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $6 t = 0$ par $6$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $6 t = 0$ par $6$ .

$\frac{6 t}{6} = \frac{0}{6}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 t}{6} = \frac{0}{6}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{0}{6}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.3.1

Divisez $0$ par $6$ .

$t = 0$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $\frac{t^{2}}{t^{2} + 3}$ sur chaque valeur $t$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Évaluez sur $t = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Remplacez $t$ par $0$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{{(0)}^{2} + 3}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0^{2} + 3}$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0 + 3}$

Étape 1.4.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $3$ .

$\frac{0}{3}$

Étape 1.4.1.2.3

Divisez $0$ par $3$ .

$0$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(0, 0)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Évaluez sur $t = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Remplacez $t$ par $- 1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{1 + 3}$

Étape 2.1.2.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 2.2

Évaluez sur $t = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Remplacez $t$ par $1$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{{(1)}^{2} + 3}$

Étape 2.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{1^{2} + 3}$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{1 + 3}$

Étape 2.2.2.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$

Étape 3

Comparez les valeurs $g (t)$ trouvées pour chaque valeur de $t$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $g (t)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $g (t)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$

Minimum absolu : $(0, 0)$

Étape 4