Calcul infinitésimal Exemples

Trouver le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle y=7x+7sin(x) , 0<=x<=2pi
,
Étape 1
Déterminez les points critiques.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.1.2.3
Multipliez par .
Étape 1.1.1.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.3.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 1.2
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 1.2.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.3
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 1.2.3.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.3.2.1.2
Divisez par .
Étape 1.2.3.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.3.1
Divisez par .
Étape 1.2.4
Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du cosinus.
Étape 1.2.5
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.5.1
La valeur exacte de est .
Étape 1.2.6
La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.
Étape 1.2.7
Soustrayez de .
Étape 1.2.8
Déterminez la période de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.8.1
La période de la fonction peut être calculée en utilisant .
Étape 1.2.8.2
Remplacez par dans la formule pour la période.
Étape 1.2.8.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 1.2.8.4
Divisez par .
Étape 1.2.9
La période de la fonction est si bien que les valeurs se répètent tous les radians dans les deux sens.
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 1.3
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 1.4
Évaluez sur chaque valeur où la dérivée est ou indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.1
Remplacez par .
Étape 1.4.1.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.1.1
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.
Étape 1.4.1.2.1.2
La valeur exacte de est .
Étape 1.4.1.2.1.3
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.2
Additionnez et .
Étape 1.4.2
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.1
Remplacez par .
Étape 1.4.2.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.1.1
Multipliez par .
Étape 1.4.2.2.1.2
Soustrayez des rotations complètes de jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à et inférieur à .
Étape 1.4.2.2.1.3
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.
Étape 1.4.2.2.1.4
La valeur exacte de est .
Étape 1.4.2.2.1.5
Multipliez par .
Étape 1.4.2.2.2
Additionnez et .
Étape 1.4.3
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.3.1
Remplacez par .
Étape 1.4.3.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.3.2.1.1
Multipliez par .
Étape 1.4.3.2.1.2
Soustrayez des rotations complètes de jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à et inférieur à .
Étape 1.4.3.2.1.3
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.
Étape 1.4.3.2.1.4
La valeur exacte de est .
Étape 1.4.3.2.1.5
Multipliez par .
Étape 1.4.3.2.2
Additionnez et .
Étape 1.4.4
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.4.1
Remplacez par .
Étape 1.4.4.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.4.2.1.1
Multipliez par .
Étape 1.4.4.2.1.2
Soustrayez des rotations complètes de jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à et inférieur à .
Étape 1.4.4.2.1.3
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.
Étape 1.4.4.2.1.4
La valeur exacte de est .
Étape 1.4.4.2.1.5
Multipliez par .
Étape 1.4.4.2.2
Additionnez et .
Étape 1.4.5
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.5.1
Remplacez par .
Étape 1.4.5.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.5.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.5.2.1.1
Multipliez par .
Étape 1.4.5.2.1.2
Soustrayez des rotations complètes de jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à et inférieur à .
Étape 1.4.5.2.1.3
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.
Étape 1.4.5.2.1.4
La valeur exacte de est .
Étape 1.4.5.2.1.5
Multipliez par .
Étape 1.4.5.2.2
Additionnez et .
Étape 1.4.6
Indiquez tous les points.
Étape 2
Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.
Étape 3
Évaluez sur les points finaux inclus.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.1
Remplacez par .
Étape 3.1.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.2.1.1
Multipliez par .
Étape 3.1.2.1.2
La valeur exacte de est .
Étape 3.1.2.1.3
Multipliez par .
Étape 3.1.2.2
Additionnez et .
Étape 3.2
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.1
Remplacez par .
Étape 3.2.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.2.1.1
Multipliez par .
Étape 3.2.2.1.2
Soustrayez des rotations complètes de jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à et inférieur à .
Étape 3.2.2.1.3
La valeur exacte de est .
Étape 3.2.2.1.4
Multipliez par .
Étape 3.2.2.2
Additionnez et .
Étape 3.3
Indiquez tous les points.
Étape 4
Comparez les valeurs trouvées pour chaque valeur de afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur la plus haute et le minimum intervient sur la valeur la plus basse.
Maximum absolu :
Minimum absolu :
Étape 5