Calcul infinitésimal Exemples

Trouver le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle f(x)=sin(x)
Étape 1
La dérivée de par rapport à est .
Étape 2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 3
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 4
Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du cosinus.
Étape 5
Simplifiez le côté droit.
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Étape 5.1
La valeur exacte de est .
Étape 6
La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.
Étape 7
Simplifiez .
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Étape 7.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 7.2
Associez les fractions.
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Étape 7.2.1
Associez et .
Étape 7.2.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 7.3
Simplifiez le numérateur.
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Étape 7.3.1
Multipliez par .
Étape 7.3.2
Soustrayez de .
Étape 8
La solution de l’équation est .
Étape 9
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 10
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1
La valeur exacte de est .
Étape 10.2
Multipliez par .
Étape 11
est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.
est un maximum local
Étape 12
Déterminez la valeur y quand .
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Étape 12.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 12.2
Simplifiez le résultat.
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Étape 12.2.1
La valeur exacte de est .
Étape 12.2.2
La réponse finale est .
Étape 13
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 14
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.1
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.
Étape 14.2
La valeur exacte de est .
Étape 14.3
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.3.1
Multipliez par .
Étape 14.3.2
Multipliez par .
Étape 15
est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.
est un minimum local
Étape 16
Déterminez la valeur y quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 16.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 16.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 16.2.1
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.
Étape 16.2.2
La valeur exacte de est .
Étape 16.2.3
Multipliez par .
Étape 16.2.4
La réponse finale est .
Étape 17
Ce sont les extrema locaux pour .
est un maximum local
est un minimum local
Étape 18