Calcul infinitésimal Exemples

Trouver le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle h(x)=-x^3+4
Étape 1
Déterminez la dérivée première de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2
Évaluez .
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Étape 1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.2.3
Multipliez par .
Étape 1.3
Différenciez en utilisant la règle de la constante.
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Étape 1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.2
Additionnez et .
Étape 2
Déterminez la dérivée seconde de la fonction.
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Étape 2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.3
Multipliez par .
Étape 3
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 4
Déterminez la dérivée première.
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Étape 4.1
Déterminez la dérivée première.
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Étape 4.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2
Évaluez .
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Étape 4.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.2.3
Multipliez par .
Étape 4.1.3
Différenciez en utilisant la règle de la constante.
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Étape 4.1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.3.2
Additionnez et .
Étape 4.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 5
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
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Étape 5.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 5.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
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Étape 5.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 5.2.2
Simplifiez le côté gauche.
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Étape 5.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
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Étape 5.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 5.2.3
Simplifiez le côté droit.
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Étape 5.2.3.1
Divisez par .
Étape 5.3
Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.
Étape 5.4
Simplifiez .
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Étape 5.4.1
Réécrivez comme .
Étape 5.4.2
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 5.4.3
Plus ou moins est .
Étape 6
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
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Étape 6.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 7
Points critiques à évaluer.
Étape 8
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 9
Multipliez par .
Étape 10
Comme il y a au moins un point avec ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.
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Étape 10.1
Divisez en intervalles distincts autour des valeurs qui rendent la dérivée première ou indéfinie.
Étape 10.2
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
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Étape 10.2.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 10.2.2
Simplifiez le résultat.
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Étape 10.2.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 10.2.2.2
Multipliez par .
Étape 10.2.2.3
La réponse finale est .
Étape 10.3
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
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Étape 10.3.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 10.3.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.3.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 10.3.2.2
Multipliez par .
Étape 10.3.2.3
La réponse finale est .
Étape 10.4
Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.
Pas un maximum ni un minimum local
Étape 10.5
Aucun maximum ni minimum local déterminé pour .
Aucun maximum ni minimum local
Aucun maximum ni minimum local
Étape 11