Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \cos^{2} (x)$ on $[0, π]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 1.1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) (- \sin (x))$

Étape 1.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 \cos (x) \sin (x) = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) = 0$

Étape 1.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Étape 1.2.3

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 1.2.3.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 1.2.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 1.2.3.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.3.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 1.2.3.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.3.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 1.2.3.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.3.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 1.2.3.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.3.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 1.2.3.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 1.2.3.2.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 1.2.3.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.3.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.2.3.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.2.3.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.2.3.2.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.4

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 1.2.4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.4.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 1.2.4.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 1.2.4.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 1.2.4.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.4.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.2.4.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.2.4.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.2.4.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 2 \cos (x) \sin (x) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.6

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $\cos^{2} (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\cos^{2} (0)$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$1^{2}$

Étape 1.4.1.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{π}{2}$ .

$\cos^{2} (\frac{π}{2})$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$0^{2}$

Étape 1.4.2.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(0 + π n, 1), (\frac{π}{2} + π n, 0)$ , pour tout entier $n$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(\frac{π}{2}, 0)$

Étape 3

Utilisez le test de la dérivée afin de déterminer quels points peuvent être des maxima ou des minima.

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Étape 3.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, π) \cup (π, \infty)$

Étape 3.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $- 2 \cos (x) \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 3.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = - 2 \cos (- 2) \sin (- 2)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.2.1

Évaluez $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 2 \cdot (- 0.41614683 \sin (- 2))$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 0.41614683$ .

$f' (- 2) = 0.83229367 \sin (- 2)$

Étape 3.2.2.3

Évaluez $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 0.83229367 \cdot - 0.90929742$

Étape 3.2.2.4

Multipliez $0.83229367$ par $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = - 0.75680249$

Étape 3.2.2.5

La réponse finale est $- 0.75680249$ .

$- 0.75680249$

Étape 3.3

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(0, \frac{π}{2})$ dans la dérivée première $- 2 \cos (x) \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - 2 \cos (1) \sin (1)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Évaluez $\cos (1)$ .

$f' (1) = - 2 \cdot (0.5403023 \sin (1))$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $0.5403023$ .

$f' (1) = - 1.08060461 \sin (1)$

Étape 3.3.2.3

Évaluez $\sin (1)$ .

$f' (1) = - 1.08060461 \cdot 0.84147098$

Étape 3.3.2.4

Multipliez $- 1.08060461$ par $0.84147098$ .

$f' (1) = - 0.90929742$

Étape 3.3.2.5

La réponse finale est $- 0.90929742$ .

$- 0.90929742$

Étape 3.4

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(\frac{π}{2}, π)$ dans la dérivée première $- 2 \cos (x) \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 3.4.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = - 2 \cos (2) \sin (2)$

Étape 3.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.4.2.1

Évaluez $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 2 \cdot (- 0.41614683 \sin (2))$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 0.41614683$ .

$f' (2) = 0.83229367 \sin (2)$

Étape 3.4.2.3

Évaluez $\sin (2)$ .

$f' (2) = 0.83229367 \cdot 0.90929742$

Étape 3.4.2.4

Multipliez $0.83229367$ par $0.90929742$ .

$f' (2) = 0.75680249$

Étape 3.4.2.5

La réponse finale est $0.75680249$ .

$0.75680249$

Étape 3.5

Remplacez tout nombre, tel que $6$ , de l’intervalle $(π, \infty)$ dans la dérivée première $- 2 \cos (x) \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 3.5.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = - 2 \cos (6) \sin (6)$

Étape 3.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.5.2.1

Évaluez $\cos (6)$ .

$f' (6) = - 2 \cdot (0.96017028 \sin (6))$

Étape 3.5.2.2

Multipliez $- 2$ par $0.96017028$ .

$f' (6) = - 1.92034057 \sin (6)$

Étape 3.5.2.3

Évaluez $\sin (6)$ .

$f' (6) = - 1.92034057 \cdot - 0.27941549$

Étape 3.5.2.4

Multipliez $- 1.92034057$ par $- 0.27941549$ .

$f' (6) = 0.53657291$

Étape 3.5.2.5

La réponse finale est $0.53657291$ .

$0.53657291$

Étape 3.6

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 3.7

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = \frac{π}{2}$ , $x = \frac{π}{2}$ est un minimum local.

$x = \frac{π}{2}$ est un minimum local

Étape 3.8

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = π$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 3.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \cos^{2} (x)$ .

$x = \frac{π}{2}$ est un minimum local

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Aucun maximum absolu

Minimum absolu : $(\frac{π}{2}, 0)$

Étape 5