Calcul infinitésimal Exemples

$f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ , $0 \leq θ \leq 2 π$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ par rapport à $θ$ est $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $2 \cos (θ)$ par rapport à $θ$ est $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Étape 1.1.1.2.2

La dérivée de $\cos (θ)$ par rapport à $θ$ est $- \sin (θ)$ .

$2 (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = θ^{2}$ et $g (θ) = \cos (θ)$ .

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Étape 1.1.1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Étape 1.1.1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Étape 1.1.1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Étape 1.1.1.3.2

La dérivée de $\cos (θ)$ par rapport à $θ$ est $- \sin (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \sin (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Étape 1.1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (θ)$ par rapport à $θ$ est $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ .

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $2 \sin (θ)$ à partir de $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $2 \sin (θ)$ à partir de $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) - 2 \sin (θ) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $2 \sin (θ)$ à partir de $- 2 \sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1 = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $2 \sin (θ)$ à partir de $2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$- \cos (θ) - 1 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $\sin (θ)$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $\sin (θ)$ égal à $0$ .

$\sin (θ) = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $\sin (θ) = 0$ pour $θ$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du sinus.

$θ = \arcsin (0)$

Étape 1.2.4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$θ = 0$

Étape 1.2.4.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$θ = π - 0$

Étape 1.2.4.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$θ = π$

Étape 1.2.4.2.5

Déterminez la période de $\sin (θ)$ .

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Étape 1.2.4.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.4.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.2.4.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.2.4.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.2.4.2.6

La période de la fonction $\sin (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.5

Définissez $- \cos (θ) - 1$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $- \cos (θ) - 1$ égal à $0$ .

$- \cos (θ) - 1 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $- \cos (θ) - 1 = 0$ pour $θ$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- \cos (θ) = 1$

Étape 1.2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- \cos (θ) = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (θ) = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 1.2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 1.2.5.2.2.2.2

Divisez $\cos (θ)$ par $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{- 1}$

Étape 1.2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.2.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$\cos (θ) = - 1$

Étape 1.2.5.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$θ = \arccos (- 1)$

Étape 1.2.5.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$θ = π$

Étape 1.2.5.2.5

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$θ = 2 π - π$

Étape 1.2.5.2.6

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$θ = π$

Étape 1.2.5.2.7

Déterminez la période de $\cos (θ)$ .

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Étape 1.2.5.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.5.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.2.5.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.2.5.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.2.5.2.8

La période de la fonction $\cos (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$ vraie.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.7

Consolidez les réponses.

$θ = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ sur chaque valeur $θ$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $θ = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $θ$ par $0$ .

$2 \cos (0) + \cos^{2} (0)$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 \cdot 1 + \cos^{2} (0)$

Étape 1.4.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \cos^{2} (0)$

Étape 1.4.1.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 + 1^{2}$

Étape 1.4.1.2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 + 1$

Étape 1.4.1.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$3$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $θ = π$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $θ$ par $π$ .

$2 \cos (π) + \cos^{2} (π)$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$2 (- \cos (0)) + \cos^{2} (π)$

Étape 1.4.2.2.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) + \cos^{2} (π)$

Étape 1.4.2.2.1.3

Multipliez $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 1.4.2.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \cdot - 1 + \cos^{2} (π)$

Étape 1.4.2.2.1.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 + \cos^{2} (π)$

Étape 1.4.2.2.1.4

$- 2 + {(- \cos (0))}^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 2 + {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 + {(- 1)}^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 2 + 1$

Étape 1.4.2.2.2

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$- 1$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(0 + 2 π n, 3), (π + 2 π n, - 1)$ , pour tout entier $n$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(0, 3), (2 π, 3), (π, - 1)$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $θ = 0$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $θ$ par $0$ .

$2 \cos (0) + \cos^{2} (0)$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 \cdot 1 + \cos^{2} (0)$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \cos^{2} (0)$

Étape 3.1.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 + 1^{2}$

Étape 3.1.2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 + 1$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$3$

Étape 3.2

Évaluez sur $θ = 2 π$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $θ$ par $2 π$ .

$2 \cos (2 π) + \cos^{2} (2 π)$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$2 \cos (0) + \cos^{2} (2 π)$

Étape 3.2.2.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 \cdot 1 + \cos^{2} (2 π)$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \cos^{2} (2 π)$

Étape 3.2.2.1.4

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$2 + \cos^{2} (0)$

Étape 3.2.2.1.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 + 1^{2}$

Étape 3.2.2.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 + 1$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$3$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(0, 3), (2 π, 3)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (θ)$ trouvées pour chaque valeur de $θ$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (θ)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (θ)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(0, 3), (2 π, 3)$

Minimum absolu : $(π, - 1)$

Étape 5