Calcul infinitésimal Exemples

Trouver le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle -3x^4-8x^3-6x^2+1
Étape 1
Déterminez la dérivée première de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.2.3
Multipliez par .
Étape 1.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.3.3
Multipliez par .
Étape 1.4
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.4.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.4.3
Multipliez par .
Étape 1.5
Différenciez en utilisant la règle de la constante.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.5.2
Additionnez et .
Étape 2
Déterminez la dérivée seconde de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.2.3
Multipliez par .
Étape 2.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.3.3
Multipliez par .
Étape 2.4
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.4.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.4.3
Multipliez par .
Étape 3
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 4
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.2.3
Multipliez par .
Étape 4.1.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.3.3
Multipliez par .
Étape 4.1.4
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.4.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.4.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.4.3
Multipliez par .
Étape 4.1.5
Différenciez en utilisant la règle de la constante.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.5.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.5.2
Additionnez et .
Étape 4.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 5
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 5.2
Factorisez le côté gauche de l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.1.5
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.2
Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.2.1
Réécrivez comme .
Étape 5.2.2.2
Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.
Étape 5.2.2.3
Réécrivez le polynôme.
Étape 5.2.2.4
Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait , où et .
Étape 5.3
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 5.4
Définissez égal à .
Étape 5.5
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.1
Définissez égal à .
Étape 5.5.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.2.1
Définissez le égal à .
Étape 5.5.2.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 5.6
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 6
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 7
Points critiques à évaluer.
Étape 8
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 9
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 9.1.2
Multipliez par .
Étape 9.1.3
Multipliez par .
Étape 9.2
Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.2.1
Additionnez et .
Étape 9.2.2
Soustrayez de .
Étape 10
est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.
est un maximum local
Étape 11
Déterminez la valeur y quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 11.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 11.2.1.2
Multipliez par .
Étape 11.2.1.3
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 11.2.1.4
Multipliez par .
Étape 11.2.1.5
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 11.2.1.6
Multipliez par .
Étape 11.2.2
Simplifiez en ajoutant des nombres.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.2.1
Additionnez et .
Étape 11.2.2.2
Additionnez et .
Étape 11.2.2.3
Additionnez et .
Étape 11.2.3
La réponse finale est .
Étape 12
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 13
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 13.1.2
Multipliez par .
Étape 13.1.3
Multipliez par .
Étape 13.2
Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.2.1
Additionnez et .
Étape 13.2.2
Soustrayez de .
Étape 14
Comme il y a au moins un point avec ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.1
Divisez en intervalles distincts autour des valeurs qui rendent la dérivée première ou indéfinie.
Étape 14.2
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.2.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 14.2.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.2.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 14.2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 14.2.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 14.2.2.1.4
Multipliez par .
Étape 14.2.2.1.5
Multipliez par .
Étape 14.2.2.2
Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.2.2.2.1
Soustrayez de .
Étape 14.2.2.2.2
Additionnez et .
Étape 14.2.2.3
La réponse finale est .
Étape 14.3
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.3.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 14.3.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.3.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 14.3.2.1.2
Multipliez par .
Étape 14.3.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 14.3.2.1.4
Multipliez par .
Étape 14.3.2.1.5
Multipliez par .
Étape 14.3.2.2
Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.3.2.2.1
Soustrayez de .
Étape 14.3.2.2.2
Additionnez et .
Étape 14.3.2.3
La réponse finale est .
Étape 14.4
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.4.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 14.4.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.4.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 14.4.2.1.2
Multipliez par .
Étape 14.4.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 14.4.2.1.4
Multipliez par .
Étape 14.4.2.1.5
Multipliez par .
Étape 14.4.2.2
Simplifiez en soustrayant des nombres.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.4.2.2.1
Soustrayez de .
Étape 14.4.2.2.2
Soustrayez de .
Étape 14.4.2.3
La réponse finale est .
Étape 14.5
Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.
Pas un maximum ni un minimum local
Étape 14.6
Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de , est un maximum local.
est un maximum local
est un maximum local
Étape 15