Calcul infinitésimal Exemples

Trouver le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle f(x)=5sin(x)^2 on [0,pi]
on
Étape 1
Déterminez les points critiques.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.2.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.1.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.1.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.1.1.3
Multipliez par .
Étape 1.1.1.4
La dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.5
Réorganisez les facteurs de .
Étape 1.1.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 1.2
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 1.2.2
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 1.2.3
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.1
Définissez égal à .
Étape 1.2.3.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.2.1
Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du cosinus.
Étape 1.2.3.2.2
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.2.2.1
La valeur exacte de est .
Étape 1.2.3.2.3
La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.
Étape 1.2.3.2.4
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.2.4.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.2.3.2.4.2
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.2.4.2.1
Associez et .
Étape 1.2.3.2.4.2.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.2.3.2.4.3
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.2.4.3.1
Multipliez par .
Étape 1.2.3.2.4.3.2
Soustrayez de .
Étape 1.2.3.2.5
Déterminez la période de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.2.5.1
La période de la fonction peut être calculée en utilisant .
Étape 1.2.3.2.5.2
Remplacez par dans la formule pour la période.
Étape 1.2.3.2.5.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 1.2.3.2.5.4
Divisez par .
Étape 1.2.3.2.6
La période de la fonction est si bien que les valeurs se répètent tous les radians dans les deux sens.
, pour tout entier
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 1.2.4
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.1
Définissez égal à .
Étape 1.2.4.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.2.1
Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du sinus.
Étape 1.2.4.2.2
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.2.2.1
La valeur exacte de est .
Étape 1.2.4.2.3
La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.
Étape 1.2.4.2.4
Soustrayez de .
Étape 1.2.4.2.5
Déterminez la période de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.2.5.1
La période de la fonction peut être calculée en utilisant .
Étape 1.2.4.2.5.2
Remplacez par dans la formule pour la période.
Étape 1.2.4.2.5.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 1.2.4.2.5.4
Divisez par .
Étape 1.2.4.2.6
La période de la fonction est si bien que les valeurs se répètent tous les radians dans les deux sens.
, pour tout entier
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 1.2.5
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
, pour tout entier
Étape 1.2.6
Consolidez les réponses.
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 1.3
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 1.4
Évaluez sur chaque valeur où la dérivée est ou indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.1
Remplacez par .
Étape 1.4.1.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.1
La valeur exacte de est .
Étape 1.4.1.2.2
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 1.4.1.2.3
Multipliez par .
Étape 1.4.2
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.1
Remplacez par .
Étape 1.4.2.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.1
La valeur exacte de est .
Étape 1.4.2.2.2
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 1.4.2.2.3
Multipliez par .
Étape 1.4.3
Indiquez tous les points.
, pour tout entier
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 2
Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.
Étape 3
Utilisez le test de la dérivée afin de déterminer quels points peuvent être des maxima ou des minima.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Divisez en intervalles distincts autour des valeurs qui rendent la dérivée première ou indéfinie.
Étape 3.2
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 3.2.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.2.1
Évaluez .
Étape 3.2.2.2
Multipliez par .
Étape 3.2.2.3
Évaluez .
Étape 3.2.2.4
Multipliez par .
Étape 3.2.2.5
La réponse finale est .
Étape 3.3
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 3.3.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.3.2.1
Évaluez .
Étape 3.3.2.2
Multipliez par .
Étape 3.3.2.3
Évaluez .
Étape 3.3.2.4
Multipliez par .
Étape 3.3.2.5
La réponse finale est .
Étape 3.4
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.4.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 3.4.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.4.2.1
Évaluez .
Étape 3.4.2.2
Multipliez par .
Étape 3.4.2.3
Évaluez .
Étape 3.4.2.4
Multipliez par .
Étape 3.4.2.5
La réponse finale est .
Étape 3.5
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.5.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 3.5.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.5.2.1
Évaluez .
Étape 3.5.2.2
Multipliez par .
Étape 3.5.2.3
Évaluez .
Étape 3.5.2.4
Multipliez par .
Étape 3.5.2.5
La réponse finale est .
Étape 3.6
Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.
Pas un maximum ni un minimum local
Étape 3.7
Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de , est un maximum local.
est un maximum local
Étape 3.8
Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.
Pas un maximum ni un minimum local
Étape 3.9
Ce sont les extrema locaux pour .
est un maximum local
est un maximum local
Étape 4
Comparez les valeurs trouvées pour chaque valeur de afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur la plus haute et le minimum intervient sur la valeur la plus basse.
Maximum absolu :
Aucun minimum absolu
Étape 5