Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{a} {(1 - x)}^{b}$ , $0 \leq x \leq 1$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{a}$ et $g (x) = {(1 - x)}^{b}$ .

$x^{a} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{b}] + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{b}$ et $g (x) = 1 - x$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x$ .

$x^{a} (\frac{d}{d u} [u^{b}] \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = b$ .

$x^{a} (b u^{b - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Étape 1.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Étape 1.1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Étape 1.1.1.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Étape 1.1.1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Étape 1.1.1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Étape 1.1.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (- 1 \cdot 1)) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Étape 1.1.1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} \cdot - 1) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Étape 1.1.1.3.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $b {(1 - x)}^{b - 1}$ .

$x^{a} (- 1 \cdot (b {(1 - x)}^{b - 1})) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Étape 1.1.1.3.6.3

Réécrivez $- 1 b$ comme $- b$ .

$x^{a} (- b {(1 - x)}^{b - 1}) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Étape 1.1.1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = a$ .

$x^{a} (- b {(1 - x)}^{b - 1}) + {(1 - x)}^{b} (a x^{a - 1})$

Étape 1.1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- x^{a} b {(1 - x)}^{b - 1} + x^{a - 1} a {(1 - x)}^{b}$

Étape 1.1.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- x^{a} b {(1 - x)}^{b - 1} + x^{a - 1} a {(1 - x)}^{b}$ .

$f' (x) = - b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b}$ .

$- b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b} = 0$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{a} {(1 - (0))}^{b}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Soustrayez $0$ de $1$ .

$0^{a} \cdot 1^{b}$

Étape 2.1.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$0^{a} \cdot 1$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $0^{a}$ par $1$ .

$0^{a}$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

${(1)}^{a} {(1 - (1))}^{b}$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 {(1 - (1))}^{b}$

Étape 2.2.2.2

Multipliez ${(1 - (1))}^{b}$ par $1$ .

${(1 - (1))}^{b}$

Étape 2.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

${(1 - 1)}^{b}$

Étape 2.2.2.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0^{b}$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0^{a}), (1, 0^{b})$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Aucun maximum absolu

Aucun minimum absolu

Étape 4