Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}$ , $[- 2, 1]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 1.1.1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 1.1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.1.1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$- x^{- 2} - 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- x^{- 2} - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- x^{- 2} - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- x^{- 2} - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Étape 1.1.1.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 1.1.1.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 2} - 2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Étape 1.1.1.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- x^{- 2} - 2 (- x^{- 4} (2 x))$

Étape 1.1.1.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- x^{- 2} - 2 (- 2 x^{- 4} x)$

Étape 1.1.1.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- x^{- 2} - 2 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Étape 1.1.1.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{- 2} - 2 (- 2 x^{1 - 4})$

Étape 1.1.1.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- x^{- 2} - 2 (- 2 x^{- 3})$

Étape 1.1.1.3.10

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$- x^{- 2} + 4 x^{- 3}$

Étape 1.1.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 x^{- 3}$

Étape 1.1.1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1.1.1.6

Associez $4$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$

Étape 1.2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2}, x^{3}, 1$

Étape 1.2.2.2

Comme $x^{2}, x^{3}, 1$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 1, 1$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{2}, x^{3}$ .

Étape 1.2.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 1.2.2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.2.2.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 1.2.2.6

Les facteurs pour $x^{2}$ sont $x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $2$ fois.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ se produit $2$ fois.

Étape 1.2.2.7

Les facteurs pour $x^{3}$ sont $x \cdot x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $3$ fois.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ se produit $3$ fois.

Étape 1.2.2.8

Le plus petit multiple commun de $x^{2}, x^{3}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x \cdot x \cdot x$

Étape 1.2.2.9

Simplifiez $x \cdot x \cdot x$ .

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Étape 1.2.2.9.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} \cdot x$

Étape 1.2.2.9.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.2.9.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.2.2.9.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1}$

Étape 1.2.2.9.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 1}$

Étape 1.2.2.9.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{3}$

Étape 1.2.3

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$ par $x^{3}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$ par $x^{3}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{3} + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{3} + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Étape 1.2.3.2.1.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Étape 1.2.3.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Étape 1.2.3.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- x + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$- x + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$- x + 4 = 0 x^{3}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Multipliez $0$ par $x^{3}$ .

$- x + 4 = 0$

Étape 1.2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.4.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 4$

Étape 1.2.4.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 1.2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 1.2.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x = 4$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 1.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 1.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 1.3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.3.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{4}{x^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} = 0$

Étape 1.3.4

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.4.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 1.3.4.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 1.3.4.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 1.3.4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{{(4)}^{2}}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{16}$

Étape 1.4.1.2.1.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $16$ .

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Étape 1.4.1.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2 (1)}{16}$

Étape 1.4.1.2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1.2.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Étape 1.4.1.2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Étape 1.4.1.2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Étape 1.4.1.2.2

Pour écrire $\frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{8}$

Étape 1.4.1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{2}{8} - \frac{1}{8}$

Étape 1.4.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 - 1}{8}$

Étape 1.4.1.2.5

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{1}{8}$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{1}{0} - \frac{2}{{(0)}^{2}}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{0} - \frac{2}{0}$

Étape 1.4.2.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(4, \frac{1}{8})$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$\frac{1}{- 2} - \frac{2}{{(- 2)}^{2}}$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} - \frac{2}{{(- 2)}^{2}}$

Étape 3.1.2.1.2

Annulez le facteur commun à $2$ et ${(- 2)}^{2}$ .

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Étape 3.1.2.1.2.1

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{- 1 (- 2)}{{(- 2)}^{2}}$

Étape 3.1.2.1.2.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 1 (- 2)$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{2}}$

Étape 3.1.2.1.2.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1.2.3.1

Factorisez $- 2$ à partir de ${(- 2)}^{2}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 \cdot - 2}$

Étape 3.1.2.1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2} - \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 \cdot - 2}$

Étape 3.1.2.1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2} - \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.1.2.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 3.1.2.2

Associez les fractions.

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Étape 3.1.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 - 1}{2}$

Étape 3.1.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.2.2.2.1

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{2}$

Étape 3.1.2.2.2.2

Divisez $- 2$ par $2$ .

$- 1$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{1} - \frac{2}{{(1)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Divisez $1$ par $1$ .

$1 - \frac{2}{{(1)}^{2}}$

Étape 3.2.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - \frac{2}{1}$

Étape 3.2.2.1.3

Divisez $2$ par $1$ .

$1 - 1 \cdot 2$

Étape 3.2.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$1 - 2$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- 1$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(- 2, - 1), (1, - 1)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(- 2, - 1), (1, - 1)$

Minimum absolu : $(- 2, - 1), (1, - 1)$

Étape 5