Calcul infinitésimal Exemples

Trouver le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle f(x)=(2x^(5/2))/5-(4x^(3/2))/3+(x^2)/2-5 , [0,4]
,
Étape 1
Déterminez les points critiques.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.1.2.3
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.1.1.2.4
Associez et .
Étape 1.1.1.2.5
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.1.1.2.6
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.2.6.1
Multipliez par .
Étape 1.1.1.2.6.2
Soustrayez de .
Étape 1.1.1.2.7
Associez et .
Étape 1.1.1.2.8
Multipliez par .
Étape 1.1.1.2.9
Multipliez par .
Étape 1.1.1.2.10
Multipliez par .
Étape 1.1.1.2.11
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.1.2.12
Divisez par .
Étape 1.1.1.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.1.3.3
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.1.1.3.4
Associez et .
Étape 1.1.1.3.5
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.1.1.3.6
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.3.6.1
Multipliez par .
Étape 1.1.1.3.6.2
Soustrayez de .
Étape 1.1.1.3.7
Associez et .
Étape 1.1.1.3.8
Multipliez par .
Étape 1.1.1.3.9
Multipliez par .
Étape 1.1.1.3.10
Multipliez par .
Étape 1.1.1.3.11
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.1.3.12
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.3.12.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.1.3.12.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.1.3.12.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.1.1.3.12.4
Divisez par .
Étape 1.1.1.3.13
Multipliez par .
Étape 1.1.1.4
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.4.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.4.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.1.4.3
Associez et .
Étape 1.1.1.4.4
Associez et .
Étape 1.1.1.4.5
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.4.5.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.1.4.5.2
Divisez par .
Étape 1.1.1.5
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.6
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1.6.1
Additionnez et .
Étape 1.1.1.6.2
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 1.1.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 1.2
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 1.2.2
Déterminez un facteur commun présent dans chaque terme.
Étape 1.2.3
Remplacez par .
Étape 1.2.4
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.1.1
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.2.4.1.2
Additionnez et .
Étape 1.2.4.2
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.4.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.4.2.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.4.3
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 1.2.4.4
Définissez égal à .
Étape 1.2.4.5
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.5.1
Définissez égal à .
Étape 1.2.4.5.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.5.2.1
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.4.5.2.2
Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.
Étape 1.2.4.5.2.3
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.5.2.3.1
Commencez par utiliser la valeur positive du pour déterminer la première solution.
Étape 1.2.4.5.2.3.2
Ensuite, utilisez la valeur négative du pour déterminer la deuxième solution.
Étape 1.2.4.5.2.3.3
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Étape 1.2.4.6
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 1.2.5
Remplacez par .
Étape 1.2.6
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.1
Élevez chaque côté de l’équation à la puissance pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.
Étape 1.2.6.2
Simplifiez l’exposant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.2.1
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.2.1.1
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.2.1.1.1
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.2.1.1.1.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 1.2.6.2.1.1.1.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.2.1.1.1.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.6.2.1.1.1.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.6.2.1.1.2
Simplifiez
Étape 1.2.6.2.2
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.2.2.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 1.2.7
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.7.1
Élevez chaque côté de l’équation à la puissance pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.
Étape 1.2.7.2
Simplifiez l’exposant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.7.2.1
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.7.2.1.1
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.7.2.1.1.1
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.7.2.1.1.1.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 1.2.7.2.1.1.1.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.7.2.1.1.1.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.7.2.1.1.1.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.7.2.1.1.2
Simplifiez
Étape 1.2.7.2.2
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.7.2.2.1
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.7.2.2.1.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 1.2.7.2.2.1.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 1.2.7.2.2.1.3
Associez et .
Étape 1.2.7.2.2.1.4
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.7.2.2.1.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.7.2.2.1.4.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.7.2.2.1.4.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.7.2.2.1.4.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.7.2.2.1.4.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.2.7.2.2.1.5
Réécrivez comme .
Étape 1.2.8
Indiquez toutes les solutions.
Étape 1.2.9
Excluez les solutions qui ne rendent pas vrai.
Étape 1.3
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1
Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1.1
Appliquez la règle pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.
Étape 1.3.1.2
Appliquez la règle pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.
Étape 1.3.1.3
Toute valeur élevée à est la base elle-même.
Étape 1.3.2
Définissez le radicande dans inférieur à pour déterminer où l’expression est indéfinie.
Étape 1.3.3
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.1
Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.
Étape 1.3.3.2
Simplifiez l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.2.1
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.2.1.1
Extrayez les termes de sous le radical.
Étape 1.3.3.2.2
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.2.2.1
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.3.2.2.1.1
Réécrivez comme .
Étape 1.3.3.2.2.1.2
Extrayez les termes de sous le radical.
Étape 1.3.4
L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à , l’argument d’une racine carrée est inférieur à ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à .
Étape 1.4
Évaluez sur chaque valeur où la dérivée est ou indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.1
Remplacez par .
Étape 1.4.1.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.1.1
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.1.1.1
Réécrivez comme .
Étape 1.4.1.2.1.1.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 1.4.1.2.1.1.3
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.1.1.3.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.4.1.2.1.1.3.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.4.1.2.1.1.4
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 1.4.1.2.1.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.1.3
Divisez par .
Étape 1.4.1.2.1.4
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.1.4.1
Réécrivez comme .
Étape 1.4.1.2.1.4.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 1.4.1.2.1.4.3
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.1.4.3.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.4.1.2.1.4.3.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.4.1.2.1.4.4
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 1.4.1.2.1.5
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.1.6
Divisez par .
Étape 1.4.1.2.1.7
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.1.8
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 1.4.1.2.1.9
Divisez par .
Étape 1.4.1.2.2
Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1.2.2.1
Additionnez et .
Étape 1.4.1.2.2.2
Additionnez et .
Étape 1.4.1.2.2.3
Soustrayez de .
Étape 1.4.2
Indiquez tous les points.
Étape 2
Évaluez sur les points finaux inclus.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1
Remplacez par .
Étape 2.1.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.1.1
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.1.1.1
Réécrivez comme .
Étape 2.1.2.1.1.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 2.1.2.1.1.3
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.1.1.3.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.1.2.1.1.3.2
Réécrivez l’expression.
Étape 2.1.2.1.1.4
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 2.1.2.1.2
Multipliez par .
Étape 2.1.2.1.3
Divisez par .
Étape 2.1.2.1.4
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.1.4.1
Réécrivez comme .
Étape 2.1.2.1.4.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 2.1.2.1.4.3
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.1.4.3.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.1.2.1.4.3.2
Réécrivez l’expression.
Étape 2.1.2.1.4.4
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 2.1.2.1.5
Multipliez par .
Étape 2.1.2.1.6
Divisez par .
Étape 2.1.2.1.7
Multipliez par .
Étape 2.1.2.1.8
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 2.1.2.1.9
Divisez par .
Étape 2.1.2.2
Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.2.1
Additionnez et .
Étape 2.1.2.2.2
Additionnez et .
Étape 2.1.2.2.3
Soustrayez de .
Étape 2.2
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.1
Remplacez par .
Étape 2.2.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.2.1.1
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.2.1.1.1
Réécrivez comme .
Étape 2.2.2.1.1.2
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.2.1.1.2.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 2.2.2.1.1.2.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.2.1.1.2.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.2.2.1.1.2.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 2.2.2.1.1.3
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.2.2.1.1.4
Additionnez et .
Étape 2.2.2.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 2.2.2.1.3
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.2.1.3.1
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.2.1.3.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.2.2.1.3.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.2.2.1.3.2
Écrivez comme une fraction avec un dénominateur commun.
Étape 2.2.2.1.3.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.2.2.1.3.4
Additionnez et .
Étape 2.2.2.1.4
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.2.1.4.1
Réécrivez comme .
Étape 2.2.2.1.4.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 2.2.2.1.4.3
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.2.1.4.3.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.2.2.1.4.3.2
Réécrivez l’expression.
Étape 2.2.2.1.4.4
Élevez à la puissance .
Étape 2.2.2.1.5
Élevez à la puissance .
Étape 2.2.2.1.6
Divisez par .
Étape 2.2.2.2
Déterminez le dénominateur commun.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.2.2.1
Multipliez par .
Étape 2.2.2.2.2
Multipliez par .
Étape 2.2.2.2.3
Multipliez par .
Étape 2.2.2.2.4
Multipliez par .
Étape 2.2.2.2.5
Écrivez comme une fraction avec le dénominateur .
Étape 2.2.2.2.6
Multipliez par .
Étape 2.2.2.2.7
Multipliez par .
Étape 2.2.2.2.8
Écrivez comme une fraction avec le dénominateur .
Étape 2.2.2.2.9
Multipliez par .
Étape 2.2.2.2.10
Multipliez par .
Étape 2.2.2.2.11
Réorganisez les facteurs de .
Étape 2.2.2.2.12
Multipliez par .
Étape 2.2.2.2.13
Multipliez par .
Étape 2.2.2.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.2.2.4
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.2.4.1
Multipliez par .
Étape 2.2.2.4.2
Multipliez par .
Étape 2.2.2.4.3
Multipliez par .
Étape 2.2.2.4.4
Multipliez par .
Étape 2.2.2.5
Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.2.5.1
Soustrayez de .
Étape 2.2.2.5.2
Additionnez et .
Étape 2.2.2.5.3
Soustrayez de .
Étape 2.3
Indiquez tous les points.
Étape 3
Comparez les valeurs trouvées pour chaque valeur de afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur la plus haute et le minimum intervient sur la valeur la plus basse.
Maximum absolu :
Minimum absolu :
Étape 4