Calcul infinitésimal Exemples

Trouver le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle f(x)=( logarithme népérien de x)/(x^2)
Étape 1
Déterminez la dérivée première de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est et .
Étape 1.2
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 1.2.2
Multipliez par .
Étape 1.3
La dérivée de par rapport à est .
Étape 1.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1
Associez et .
Étape 1.4.2
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.4.2.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.4.2.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.4.2.2.3
Annulez le facteur commun.
Étape 1.4.2.2.4
Réécrivez l’expression.
Étape 1.4.2.2.5
Divisez par .
Étape 1.4.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.4.4
Simplifiez en factorisant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.4.1
Multipliez par .
Étape 1.4.4.2
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.4.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.4.4.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.4.4.2.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.4.4.2.4
Factorisez à partir de .
Étape 1.5
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.5.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.5.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.5.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.6
Simplifiez en déplaçant dans le logarithme.
Étape 2
Déterminez la dérivée seconde de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est et .
Étape 2.2
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.1
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.1.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 2.2.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.4
Additionnez et .
Étape 2.2.5
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 2.3.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.1
Associez et .
Étape 2.4.2
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.4.2.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.2.2.1
Multipliez par .
Étape 2.4.2.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 2.4.2.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 2.4.2.2.4
Divisez par .
Étape 2.4.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.4.4
Multipliez par .
Étape 2.5
Élevez à la puissance .
Étape 2.6
Élevez à la puissance .
Étape 2.7
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.8
Additionnez et .
Étape 2.9
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.10
Simplifiez en factorisant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.10.1
Multipliez par .
Étape 2.10.2
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.10.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.10.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.10.2.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.11
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.11.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.11.2
Annulez le facteur commun.
Étape 2.11.3
Réécrivez l’expression.
Étape 2.12
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.12.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.12.2
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.12.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.12.2.1.1
Multipliez par .
Étape 2.12.2.1.2
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.12.2.1.2.1
Multipliez par .
Étape 2.12.2.1.2.2
Simplifiez en déplaçant dans le logarithme.
Étape 2.12.2.1.3
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.12.2.1.3.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 2.12.2.1.3.2
Multipliez par .
Étape 2.12.2.2
Soustrayez de .
Étape 2.12.3
Réécrivez comme .
Étape 2.12.4
Factorisez à partir de .
Étape 2.12.5
Factorisez à partir de .
Étape 2.12.6
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 3
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 4
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.1
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est et .
Étape 4.1.2
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 4.1.2.2
Multipliez par .
Étape 4.1.3
La dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.4.1
Associez et .
Étape 4.1.4.2
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.4.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.1.4.2.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.4.2.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 4.1.4.2.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 4.1.4.2.2.3
Annulez le facteur commun.
Étape 4.1.4.2.2.4
Réécrivez l’expression.
Étape 4.1.4.2.2.5
Divisez par .
Étape 4.1.4.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.4.4
Simplifiez en factorisant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.4.4.1
Multipliez par .
Étape 4.1.4.4.2
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.4.4.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 4.1.4.4.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 4.1.4.4.2.3
Factorisez à partir de .
Étape 4.1.4.4.2.4
Factorisez à partir de .
Étape 4.1.5
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.5.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.1.5.2
Annulez le facteur commun.
Étape 4.1.5.3
Réécrivez l’expression.
Étape 4.1.6
Simplifiez en déplaçant dans le logarithme.
Étape 4.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 5
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 5.2
Définissez le numérateur égal à zéro.
Étape 5.3
Résolvez l’équation pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 5.3.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 5.3.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.2.2.1
La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.
Étape 5.3.2.2.2
Divisez par .
Étape 5.3.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.2.3.1
Divisez par .
Étape 5.3.3
Pour résoudre , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.
Étape 5.3.4
Réécrivez en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si et sont des nombres réels positifs et , alors est équivalent à .
Étape 5.3.5
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.5.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 5.3.5.2
Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.
Étape 5.3.5.3
Simplifiez
Étape 5.3.5.4
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.5.4.1
Commencez par utiliser la valeur positive du pour déterminer la première solution.
Étape 5.3.5.4.2
Ensuite, utilisez la valeur négative du pour déterminer la deuxième solution.
Étape 5.3.5.4.3
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Étape 6
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Définissez le dénominateur dans égal à pour déterminer où l’expression est indéfinie.
Étape 6.2
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.1
Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.
Étape 6.2.2
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.2.1
Réécrivez comme .
Étape 6.2.2.2
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.
Étape 6.3
Définissez l’argument dans inférieur ou égal à pour déterminer où l’expression est indéfinie.
Étape 6.4
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.4.1
Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.
Étape 6.4.2
Simplifiez l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.4.2.1
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.4.2.1.1
Extrayez les termes de sous le radical.
Étape 6.4.2.2
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.4.2.2.1
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.4.2.2.1.1
Réécrivez comme .
Étape 6.4.2.2.1.2
Extrayez les termes de sous le radical.
Étape 6.4.2.2.1.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 6.4.3
Écrivez comme fonction définie par morceaux.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.4.3.1
Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.
Étape 6.4.3.2
Dans la partie où est non négatif, retirez la valeur absolue.
Étape 6.4.3.3
Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.
Étape 6.4.3.4
Dans la partie où est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par .
Étape 6.4.3.5
Écrivez comme fonction définie par morceaux.
Étape 6.4.4
Déterminez l’intersection de et .
Étape 6.4.5
Résolvez quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.4.5.1
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.4.5.1.1
Divisez chaque terme dans par . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.
Étape 6.4.5.1.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.4.5.1.2.1
La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.
Étape 6.4.5.1.2.2
Divisez par .
Étape 6.4.5.1.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.4.5.1.3.1
Divisez par .
Étape 6.4.5.2
Déterminez l’intersection de et .
Aucune solution
Aucune solution
Étape 6.4.6
Déterminez l’union des solutions.
Étape 7
Points critiques à évaluer.
Étape 8
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 9
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1.1
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1.1.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 9.1.1.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 9.1.1.3
Associez et .
Étape 9.1.1.4
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1.1.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 9.1.1.4.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1.1.4.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 9.1.1.4.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 9.1.1.4.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 9.1.1.4.2.4
Divisez par .
Étape 9.1.2
Utilisez les règles des logarithmes pour retirer de l’exposant.
Étape 9.1.3
Le logarithme naturel de est .
Étape 9.1.4
Multipliez par .
Étape 9.1.5
Multipliez par .
Étape 9.1.6
Soustrayez de .
Étape 9.2
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.2.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 9.2.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 9.2.3
Associez et .
Étape 9.2.4
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.2.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 9.2.4.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.2.4.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 9.2.4.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 9.2.4.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 9.2.4.2.4
Divisez par .
Étape 10
est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.
est un maximum local
Étape 11
Déterminez la valeur y quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 11.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.1
Réécrivez comme .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.1.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 11.2.1.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 11.2.1.3
Associez et .
Étape 11.2.1.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.1.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 11.2.1.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 11.2.1.5
Simplifiez
Étape 11.2.2
La réponse finale est .
Étape 12
Ce sont les extrema locaux pour .
est un maximum local
Étape 13