Calcul infinitésimal Exemples

Trouver le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle g(x)=3x^4+8x^3+4
Étape 1
Déterminez la dérivée première de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.2.3
Multipliez par .
Étape 1.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.3.3
Multipliez par .
Étape 1.4
Différenciez en utilisant la règle de la constante.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.4.2
Additionnez et .
Étape 2
Déterminez la dérivée seconde de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.2.3
Multipliez par .
Étape 2.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.3.3
Multipliez par .
Étape 3
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 4
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.2.3
Multipliez par .
Étape 4.1.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.3.3
Multipliez par .
Étape 4.1.4
Différenciez en utilisant la règle de la constante.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.4.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.4.2
Additionnez et .
Étape 4.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 5
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 5.2
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.3
Factorisez à partir de .
Étape 5.3
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 5.4
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.1
Définissez égal à .
Étape 5.4.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.2.1
Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.
Étape 5.4.2.2
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.2.2.1
Réécrivez comme .
Étape 5.4.2.2.2
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 5.4.2.2.3
Plus ou moins est .
Étape 5.5
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.1
Définissez égal à .
Étape 5.5.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 5.6
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 6
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 7
Points critiques à évaluer.
Étape 8
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 9
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 9.1.2
Multipliez par .
Étape 9.1.3
Multipliez par .
Étape 9.2
Additionnez et .
Étape 10
Comme il y a au moins un point avec ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1
Divisez en intervalles distincts autour des valeurs qui rendent la dérivée première ou indéfinie.
Étape 10.2
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.2.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 10.2.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.2.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 10.2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 10.2.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 10.2.2.1.4
Multipliez par .
Étape 10.2.2.2
Additionnez et .
Étape 10.2.2.3
La réponse finale est .
Étape 10.3
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.3.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 10.3.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.3.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 10.3.2.1.2
Multipliez par .
Étape 10.3.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 10.3.2.1.4
Multipliez par .
Étape 10.3.2.2
Additionnez et .
Étape 10.3.2.3
La réponse finale est .
Étape 10.4
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.4.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 10.4.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.4.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 10.4.2.1.2
Multipliez par .
Étape 10.4.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 10.4.2.1.4
Multipliez par .
Étape 10.4.2.2
Additionnez et .
Étape 10.4.2.3
La réponse finale est .
Étape 10.5
Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de , est un minimum local.
est un minimum local
Étape 10.6
Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.
Pas un maximum ni un minimum local
Étape 10.7
Ce sont les extrema locaux pour .
est un minimum local
est un minimum local
Étape 11