Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Multipliez $x^{2} + 1$ par $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.8

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$4 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.9

Associez $4$ et $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.10

Simplifiez

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Étape 1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.10.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.10.2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} + 4) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} + 4) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} + 4) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x + \frac{d}{d x} (4)) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x + 0) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.7

Additionnez $- 8 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} + 4) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} + 4) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} + 4) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 4) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 4) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 4) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 4) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 4) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 4) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4.5.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - 4 (- 4 x^{2} + 4) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 8 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.2

Réécrivez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ comme $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.3

Développez $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.3.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.3.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.1.4.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.3.1.4.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4.2

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} - 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.6

Simplifiez

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Étape 2.5.3.1.6.1

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} - 16 x^{2} - 8 \cdot 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.6.2

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} - 16 x^{2} - 8) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{4} x - 16 x^{2} x - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8

Simplifiez

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Étape 2.5.3.1.8.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.3.1.8.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x \cdot x^{4}) - 16 x^{2} x - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 2.5.3.1.8.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x \cdot x^{4}) - 16 x^{2} x - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{1 + 4} - 16 x^{2} x - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{2} x - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.3.1.8.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 (x \cdot x^{2}) - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.5.3.1.8.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 (x \cdot x^{2}) - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{1 + 2} - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.1.9.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + (16 x^{2} - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.9.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + (16 x^{2} - 16) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.1.10.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.3.1.10.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.5.3.1.10.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + (16 x^{2} - 16) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.10.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + (16 x^{2} - 16) (x^{2 + 1} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.10.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + (16 x^{2} - 16) (x^{3} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.10.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + (16 x^{2} - 16) (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.11

Développez $(16 x^{2} - 16) (x^{3} + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.3.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{2} (x^{3} + x) - 16 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{2} x^{3} + 16 x^{2} x - 16 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{2} x^{3} + 16 x^{2} x - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.3.1.12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.1.12.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.3.1.12.1.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 (x^{3} x^{2}) + 16 x^{2} x - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{3 + 2} + 16 x^{2} x - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.1.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{5} + 16 x^{2} x - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.3.1.12.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{5} + 16 (x \cdot x^{2}) - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.5.3.1.12.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{5} + 16 (x \cdot x^{2}) - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{5} + 16 x^{1 + 2} - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{5} + 16 x^{3} - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.2

Soustrayez $16 x^{3}$ de $16 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{5} + 0 - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.3

Additionnez $16 x^{5}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{5} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.2

Additionnez $- 8 x^{5}$ et $16 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3.3

Soustrayez $16 x$ de $- 8 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 16 x^{3} - 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.4.1

Factorisez $8 x$ à partir de $8 x^{5} - 16 x^{3} - 24 x$ .

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Étape 2.5.4.1.1

Factorisez $8 x$ à partir de $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) - 16 x^{3} - 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.4.1.2

Factorisez $8 x$ à partir de $- 16 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) + 8 x (- 2 x^{2}) - 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.4.1.3

Factorisez $8 x$ à partir de $- 24 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) + 8 x (- 2 x^{2}) + 8 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.4.1.4

Factorisez $8 x$ à partir de $8 x (x^{4}) + 8 x (- 2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 8 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.4.1.5

Factorisez $8 x$ à partir de $8 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 8 x (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.4.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.4.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (u^{2} - 2 u - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.4.4

Factorisez $u^{2} - 2 u - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.5.4.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 2.5.4.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f'' (x) = \frac{8 x ((u - 3) (u + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.4.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.5

Annulez le facteur commun à $x^{2} + 1$ et ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

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Étape 2.5.5.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $8 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.5.2.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

Étape 4.1.2

$4 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $x^{2} + 1$ par $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.3.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.8

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$4 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.9

Associez $4$ et $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.10

Simplifiez

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Étape 4.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.10.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.10.2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$- 4 x^{2} + 4 = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x^{2} = - 4$

Étape 5.3.2

Divisez chaque terme dans $- 4 x^{2} = - 4$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 x^{2} = - 4$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 5.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Étape 5.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 4}$

Étape 5.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 4$ .

$x^{2} = 1$

Étape 5.3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 5.3.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 5.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 5.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 5.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 1, - 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{8 (1) ({(1)}^{2} - 3)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{8 (1^{2} - 3)}{{(1^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{8 (1^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{8 (1^{2} - 3)}{2^{3}}$

Étape 9.2.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{8 (1^{2} - 3)}{8}$

Étape 9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{8 (1 - 3)}{8}$

Étape 9.3.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{8 \cdot - 2}{8}$

Étape 9.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.4.1

Multipliez $8$ par $- 2$ .

$\frac{- 16}{8}$

Étape 9.4.2

Divisez $- 16$ par $8$ .

$- 2$

Étape 10

$x = 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{4 (1)}{{(1)}^{2} + 1}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$f (1) = \frac{4}{1^{2} + 1}$

Étape 11.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \frac{4}{1 + 1}$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (1) = \frac{4}{2}$

Étape 11.2.3

Divisez $4$ par $2$ .

$f (1) = 2$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $2$ .

$y = 2$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{8 (- 1) ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{- 8 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 8 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Étape 13.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 8 ({(- 1)}^{2} - 3)}{2^{3}}$

Étape 13.2.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{- 8 ({(- 1)}^{2} - 3)}{8}$

Étape 13.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 8 (1 - 3)}{8}$

Étape 13.3.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{- 8 \cdot - 2}{8}$

Étape 13.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.4.1

Multipliez $- 8$ par $- 2$ .

$\frac{16}{8}$

Étape 13.4.2

Divisez $16$ par $8$ .

$2$

Étape 14

$x = - 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 1$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = \frac{4 (- 1)}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 4}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Étape 15.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = \frac{- 4}{1 + 1}$

Étape 15.2.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 4}{2}$

Étape 15.2.3

Divisez $- 4$ par $2$ .

$f (- 1) = - 2$

Étape 15.2.4

La réponse finale est $- 2$ .

$y = - 2$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ .

$(1, 2)$ est un maximum local

$(- 1, - 2)$ est un minimum local

Étape 17