Calcul infinitésimal Exemples

Trouver le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle y=3x^(2/3)-2x
Étape 1
Déterminez la dérivée première de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.2.3
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.2.4
Associez et .
Étape 1.2.5
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.2.6
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.1
Multipliez par .
Étape 1.2.6.2
Soustrayez de .
Étape 1.2.7
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.2.8
Associez et .
Étape 1.2.9
Associez et .
Étape 1.2.10
Multipliez par .
Étape 1.2.11
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 1.2.12
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.13
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.13.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.13.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.13.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.3.3
Multipliez par .
Étape 2
Déterminez la dérivée seconde de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.2
Réécrivez comme .
Étape 2.2.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 2.2.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.2.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.2.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.2.5
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.5.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 2.2.5.2
Associez et .
Étape 2.2.5.3
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.2.6
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 2.2.7
Associez et .
Étape 2.2.8
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.2.9
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.9.1
Multipliez par .
Étape 2.2.9.2
Soustrayez de .
Étape 2.2.10
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.2.11
Associez et .
Étape 2.2.12
Associez et .
Étape 2.2.13
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.13.1
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.2.13.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.2.13.3
Soustrayez de .
Étape 2.2.13.4
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.2.14
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 2.2.15
Multipliez par .
Étape 2.2.16
Associez et .
Étape 2.2.17
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.3
Différenciez en utilisant la règle de la constante.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.2
Additionnez et .
Étape 3
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 4
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.2.3
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 4.1.2.4
Associez et .
Étape 4.1.2.5
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 4.1.2.6
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.6.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.6.2
Soustrayez de .
Étape 4.1.2.7
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 4.1.2.8
Associez et .
Étape 4.1.2.9
Associez et .
Étape 4.1.2.10
Multipliez par .
Étape 4.1.2.11
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 4.1.2.12
Factorisez à partir de .
Étape 4.1.2.13
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.13.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.1.2.13.2
Annulez le facteur commun.
Étape 4.1.2.13.3
Réécrivez l’expression.
Étape 4.1.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.3.3
Multipliez par .
Étape 4.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 5
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 5.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 5.3
Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.1
Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.
Étape 5.3.2
Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.
Étape 5.4
Multiplier chaque terme dans par afin d’éliminer les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.1
Multipliez chaque terme dans par .
Étape 5.4.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.4.2.1.2
Réécrivez l’expression.
Étape 5.5
Résolvez l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 5.5.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 5.5.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.2.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.5.2.2.2
Divisez par .
Étape 5.5.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.2.3.1
Divisez par .
Étape 5.5.3
Élevez chaque côté de l’équation à la puissance pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.
Étape 5.5.4
Simplifiez l’exposant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.4.1
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.4.1.1
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.4.1.1.1
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.4.1.1.1.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 5.5.4.1.1.1.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.4.1.1.1.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.5.4.1.1.1.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 5.5.4.1.1.2
Simplifiez
Étape 5.5.4.2
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.4.2.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 6
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1.1
Appliquez la règle pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.
Étape 6.1.2
Toute valeur élevée à est la base elle-même.
Étape 6.2
Définissez le dénominateur dans égal à pour déterminer où l’expression est indéfinie.
Étape 6.3
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.3.1
Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.
Étape 6.3.2
Simplifiez chaque côté de l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.3.2.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 6.3.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.3.2.2.1
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.3.2.2.1.1
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.3.2.2.1.1.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 6.3.2.2.1.1.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.3.2.2.1.1.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 6.3.2.2.1.1.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 6.3.2.2.1.2
Simplifiez
Étape 6.3.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.3.2.3.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 7
Points critiques à évaluer.
Étape 8
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 9
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 9.2
Multipliez par .
Étape 10
est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.
est un maximum local
Étape 11
Déterminez la valeur y quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 11.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.1.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 11.2.1.2
Multipliez par .
Étape 11.2.1.3
Multipliez par .
Étape 11.2.2
Soustrayez de .
Étape 11.2.3
La réponse finale est .
Étape 12
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 13
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.1
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.1.1
Réécrivez comme .
Étape 13.1.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 13.2
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 13.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 13.3
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.3.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 13.3.2
Multipliez par .
Étape 13.3.3
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 13.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Indéfini
Étape 14
Comme il y a au moins un point avec ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.1
Divisez en intervalles distincts autour des valeurs qui rendent la dérivée première ou indéfinie.
Étape 14.2
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.2.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 14.2.2
La réponse finale est .
Étape 14.3
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.3.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 14.3.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.3.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 14.3.2.1.2
Divisez par .
Étape 14.3.2.2
Soustrayez de .
Étape 14.3.2.3
La réponse finale est .
Étape 14.4
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.4.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 14.4.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 14.4.2.1
Supprimez les parenthèses.
Étape 14.4.2.2
La réponse finale est .
Étape 14.5
Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de , est un minimum local.
est un minimum local
Étape 14.6
Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de , est un maximum local.
est un maximum local
Étape 14.7
Ce sont les extrema locaux pour .
est un minimum local
est un maximum local
est un minimum local
est un maximum local
Étape 15