Calcul infinitésimal Exemples

Trouver le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle g(x)=(x^2+4)/(4x)
Étape 1
Déterminez la dérivée première de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est et .
Étape 1.3
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.3.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.4
Additionnez et .
Étape 1.4
Élevez à la puissance .
Étape 1.5
Élevez à la puissance .
Étape 1.6
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 1.7
Additionnez et .
Étape 1.8
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.9
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.9.1
Multipliez par .
Étape 1.9.2
Multipliez par .
Étape 1.10
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.10.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.10.2
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.10.2.1
Multipliez par .
Étape 1.10.2.2
Soustrayez de .
Étape 1.10.3
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.10.3.1
Réécrivez comme .
Étape 1.10.3.2
Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, et .
Étape 2
Déterminez la dérivée seconde de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est et .
Étape 2.3
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 2.3.2
Multipliez par .
Étape 2.4
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est et .
Étape 2.5
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.5.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.5.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.5.4
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.4.1
Additionnez et .
Étape 2.5.4.2
Multipliez par .
Étape 2.5.5
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.5.6
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.5.7
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.5.8
Simplifiez en ajoutant des termes.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.8.1
Additionnez et .
Étape 2.5.8.2
Multipliez par .
Étape 2.5.8.3
Additionnez et .
Étape 2.5.8.4
Simplifiez en soustrayant des nombres.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.8.4.1
Soustrayez de .
Étape 2.5.8.4.2
Additionnez et .
Étape 2.6
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.6.1
Déplacez .
Étape 2.6.2
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.6.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.6.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.6.3
Additionnez et .
Étape 2.7
Déplacez à gauche de .
Étape 2.8
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.9
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.9.1
Multipliez par .
Étape 2.9.2
Multipliez par .
Étape 2.10
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.10.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.10.2
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.10.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.10.2.1.1
Multipliez par .
Étape 2.10.2.1.2
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.10.2.1.2.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.10.2.1.2.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.10.2.1.2.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.10.2.1.3
Simplifiez et associez les termes similaires.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.10.2.1.3.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.10.2.1.3.1.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.10.2.1.3.1.1.1
Déplacez .
Étape 2.10.2.1.3.1.1.2
Multipliez par .
Étape 2.10.2.1.3.1.2
Multipliez par .
Étape 2.10.2.1.3.1.3
Multipliez par .
Étape 2.10.2.1.3.2
Soustrayez de .
Étape 2.10.2.1.3.3
Additionnez et .
Étape 2.10.2.1.4
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.10.2.1.5
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.10.2.1.5.1
Déplacez .
Étape 2.10.2.1.5.2
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.10.2.1.5.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.10.2.1.5.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.10.2.1.5.3
Additionnez et .
Étape 2.10.2.2
Soustrayez de .
Étape 2.10.2.3
Additionnez et .
Étape 2.10.3
Associez des termes.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.10.3.1
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.10.3.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.10.3.1.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.10.3.1.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.10.3.1.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 2.10.3.1.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 2.10.3.2
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.10.3.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.10.3.2.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.10.3.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.10.3.2.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 2.10.3.2.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 3
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 4
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est et .
Étape 4.1.3
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.3.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.3.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.3.4
Additionnez et .
Étape 4.1.4
Élevez à la puissance .
Étape 4.1.5
Élevez à la puissance .
Étape 4.1.6
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 4.1.7
Additionnez et .
Étape 4.1.8
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.9
Associez les fractions.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.9.1
Multipliez par .
Étape 4.1.9.2
Multipliez par .
Étape 4.1.10
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.10.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 4.1.10.2
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.10.2.1
Multipliez par .
Étape 4.1.10.2.2
Soustrayez de .
Étape 4.1.10.3
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.10.3.1
Réécrivez comme .
Étape 4.1.10.3.2
Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, et .
Étape 4.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 5
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 5.2
Définissez le numérateur égal à zéro.
Étape 5.3
Résolvez l’équation pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.1
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 5.3.2
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.2.1
Définissez égal à .
Étape 5.3.2.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 5.3.3
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.3.1
Définissez égal à .
Étape 5.3.3.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 5.3.4
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 6
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Définissez le dénominateur dans égal à pour déterminer où l’expression est indéfinie.
Étape 6.2
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.1
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.1.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 6.2.1.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.1.2.1
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.1.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 6.2.1.2.1.2
Divisez par .
Étape 6.2.1.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.1.3.1
Divisez par .
Étape 6.2.2
Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.
Étape 6.2.3
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.3.1
Réécrivez comme .
Étape 6.2.3.2
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 6.2.3.3
Plus ou moins est .
Étape 7
Points critiques à évaluer.
Étape 8
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 9
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1.1
Réécrivez comme .
Étape 9.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 9.1.3
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 9.1.3.2
Annulez le facteur commun.
Étape 9.1.3.3
Réécrivez l’expression.
Étape 9.2
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 9.2.2
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 10
est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.
est un maximum local
Étape 11
Déterminez la valeur y quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 11.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.1
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 11.2.1.2
Additionnez et .
Étape 11.2.2
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.2.1
Multipliez par .
Étape 11.2.2.2
Divisez par .
Étape 11.2.3
La réponse finale est .
Étape 12
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 13
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.1
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 13.1.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.1.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 13.1.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 13.1.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 13.2
Élevez à la puissance .
Étape 14
est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.
est un minimum local
Étape 15
Déterminez la valeur y quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 15.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.2.1
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 15.2.1.2
Additionnez et .
Étape 15.2.2
Simplifiez l’expression.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.2.2.1
Multipliez par .
Étape 15.2.2.2
Divisez par .
Étape 15.2.3
La réponse finale est .
Étape 16
Ce sont les extrema locaux pour .
est un maximum local
est un minimum local
Étape 17