Calcul infinitésimal Exemples

Trouver le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle f(x)=x^3-3/2x^2 on -1 , 2
on ,
Étape 1
Déterminez les points critiques.
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Étape 1.1
Déterminez la dérivée première.
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Étape 1.1.1
Déterminez la dérivée première.
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Étape 1.1.1.1
Différenciez.
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Étape 1.1.1.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.1.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.1.2
Évaluez .
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Étape 1.1.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.1.2.3
Multipliez par .
Étape 1.1.1.2.4
Associez et .
Étape 1.1.1.2.5
Multipliez par .
Étape 1.1.1.2.6
Associez et .
Étape 1.1.1.2.7
Annulez le facteur commun à et .
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Étape 1.1.1.2.7.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.1.2.7.2
Annulez les facteurs communs.
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Étape 1.1.1.2.7.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.1.2.7.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.1.2.7.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 1.1.1.2.7.2.4
Divisez par .
Étape 1.1.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 1.2
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
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Étape 1.2.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 1.2.2
Factorisez à partir de .
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Étape 1.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.2.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.3
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 1.2.4
Définissez égal à .
Étape 1.2.5
Définissez égal à et résolvez .
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Étape 1.2.5.1
Définissez égal à .
Étape 1.2.5.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.6
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 1.3
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
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Étape 1.3.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 1.4
Évaluez sur chaque valeur où la dérivée est ou indéfinie.
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Étape 1.4.1
Évaluez sur .
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Étape 1.4.1.1
Remplacez par .
Étape 1.4.1.2
Simplifiez
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Étape 1.4.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
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Étape 1.4.1.2.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 1.4.1.2.1.2
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 1.4.1.2.1.3
Multipliez .
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Étape 1.4.1.2.1.3.1
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.1.3.2
Multipliez par .
Étape 1.4.1.2.2
Additionnez et .
Étape 1.4.2
Évaluez sur .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.1
Remplacez par .
Étape 1.4.2.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.1.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 1.4.2.2.1.2
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 1.4.2.2.1.3
Multipliez par .
Étape 1.4.2.2.2
Simplifiez l’expression.
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Étape 1.4.2.2.2.1
Écrivez comme une fraction avec un dénominateur commun.
Étape 1.4.2.2.2.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.4.2.2.2.3
Soustrayez de .
Étape 1.4.2.2.2.4
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.4.3
Indiquez tous les points.
Étape 2
Évaluez sur les points finaux inclus.
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Étape 2.1
Évaluez sur .
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Étape 2.1.1
Remplacez par .
Étape 2.1.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.1
Simplifiez chaque terme.
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Étape 2.1.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.1.2.1.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
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Étape 2.1.2.1.2.1
Déplacez .
Étape 2.1.2.1.2.2
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.1.2.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.1.2.1.2.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.1.2.1.2.3
Additionnez et .
Étape 2.1.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 2.1.2.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 2.1.2.3
Associez et .
Étape 2.1.2.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.1.2.5
Simplifiez le numérateur.
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Étape 2.1.2.5.1
Multipliez par .
Étape 2.1.2.5.2
Soustrayez de .
Étape 2.1.2.6
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.2
Évaluez sur .
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Étape 2.2.1
Remplacez par .
Étape 2.2.2
Simplifiez
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Étape 2.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
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Étape 2.2.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 2.2.2.1.2
Annulez le facteur commun de .
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Étape 2.2.2.1.2.1
Placez le signe négatif initial dans dans le numérateur.
Étape 2.2.2.1.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.2.1.2.3
Annulez le facteur commun.
Étape 2.2.2.1.2.4
Réécrivez l’expression.
Étape 2.2.2.1.3
Multipliez par .
Étape 2.2.2.2
Soustrayez de .
Étape 2.3
Indiquez tous les points.
Étape 3
Comparez les valeurs trouvées pour chaque valeur de afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur la plus haute et le minimum intervient sur la valeur la plus basse.
Maximum absolu :
Minimum absolu :
Étape 4