Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (x + \frac{π}{4})$ , $0 \leq x \leq \frac{7 π}{4}$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x + \frac{π}{4}$ .

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Étape 1.1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + \frac{π}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Étape 1.1.1.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Étape 1.1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + \frac{π}{4}$ .

$\cos (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{π}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$\cos (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Étape 1.1.1.2.3

Comme $\frac{π}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π}{4}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\cos (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

Étape 1.1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\cos (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

Étape 1.1.1.2.4.2

Multipliez $\cos (x + \frac{π}{4})$ par $1$ .

$f' (x) = \cos (x + \frac{π}{4})$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x + \frac{π}{4})$ .

$\cos (x + \frac{π}{4})$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\cos (x + \frac{π}{4}) = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\cos (x + \frac{π}{4}) = 0$

Étape 1.2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x + \frac{π}{4} = \arccos (0)$

Étape 1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Étape 1.2.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.2.4.1

Soustrayez $\frac{π}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$x = \frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Étape 1.2.4.2

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Étape 1.2.4.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.4.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Étape 1.2.4.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 1.2.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{4}$

Étape 1.2.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{4}$

Étape 1.2.4.5.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 1.2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x + \frac{π}{4} = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 1.2.6.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{4} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.6.1.2

Associez les fractions.

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Étape 1.2.6.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.6.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x + \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 1.2.6.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 1.2.6.1.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2}$

Étape 1.2.6.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.2.6.2.1

Soustrayez $\frac{π}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{4}$

Étape 1.2.6.2.2

Pour écrire $\frac{3 π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Étape 1.2.6.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.6.2.3.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Étape 1.2.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 1.2.6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{3 π \cdot 2 - π}{4}$

Étape 1.2.6.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.2.5.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{6 π - π}{4}$

Étape 1.2.6.2.5.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 1.2.7

Déterminez la période de $\cos (x + \frac{π}{4})$ .

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Étape 1.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.2.8

La période de la fonction $\cos (x + \frac{π}{4})$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.9

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $\sin (x + \frac{π}{4})$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = \frac{π}{4}$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{π}{4}$ .

$\sin ((\frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sin (\frac{π + π}{4})$

Étape 1.4.1.2.2

Additionnez $π$ et $π$ .

$\sin (\frac{2 π}{4})$

Étape 1.4.1.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 1.4.1.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\sin (\frac{2 (π)}{4})$

Étape 1.4.1.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Étape 1.4.1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Étape 1.4.1.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.4.1.2.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$1$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{5 π}{4}$ .

$\sin ((\frac{5 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sin (\frac{5 π + π}{4})$

Étape 1.4.2.2.2

Additionnez $5 π$ et $π$ .

$\sin (\frac{6 π}{4})$

Étape 1.4.2.2.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

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Étape 1.4.2.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6 π$ .

$\sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

Étape 1.4.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Étape 1.4.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Étape 1.4.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 1.4.2.2.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.4.2.2.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 1.4.2.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{π}{4} + 2 π n, 1), (\frac{5 π}{4} + 2 π n, - 1)$ , pour tout entier $n$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(\frac{π}{4}, 1), (\frac{5 π}{4}, - 1)$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\sin ((0) + \frac{π}{4})$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Additionnez $0$ et $\frac{π}{4}$ .

$\sin (\frac{π}{4})$

Étape 3.1.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = \frac{7 π}{4}$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{7 π}{4}$ .

$\sin ((\frac{7 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sin (\frac{7 π + π}{4})$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $7 π$ et $π$ .

$\sin (\frac{8 π}{4})$

Étape 3.2.2.3

Annulez le facteur commun à $8$ et $4$ .

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Étape 3.2.2.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8 π$ .

$\sin (\frac{4 (2 π)}{4})$

Étape 3.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\sin (\frac{4 (2 π)}{4 (1)})$

Étape 3.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1})$

Étape 3.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (\frac{2 π}{1})$

Étape 3.2.2.3.2.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$\sin (2 π)$

Étape 3.2.2.4

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\sin (0)$

Étape 3.2.2.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(0, \frac{\sqrt{2}}{2}), (\frac{7 π}{4}, 0)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(\frac{π}{4}, 1)$

Minimum absolu : $(\frac{5 π}{4}, - 1)$

Étape 5