Calcul infinitésimal Exemples

Trouver le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle f(x)=9-x^2
Étape 1
Déterminez la dérivée première de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Différenciez.
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Étape 1.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.2.3
Multipliez par .
Étape 1.3
Soustrayez de .
Étape 2
Déterminez la dérivée seconde de la fonction.
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Étape 2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.3
Multipliez par .
Étape 3
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 4
Déterminez la dérivée première.
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Étape 4.1
Déterminez la dérivée première.
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Étape 4.1.1
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.1.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.2.3
Multipliez par .
Étape 4.1.3
Soustrayez de .
Étape 4.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 5
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
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Étape 5.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 5.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
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Étape 5.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 5.2.2
Simplifiez le côté gauche.
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Étape 5.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
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Étape 5.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 5.2.3
Simplifiez le côté droit.
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Étape 5.2.3.1
Divisez par .
Étape 6
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
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Étape 6.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 7
Points critiques à évaluer.
Étape 8
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 9
est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.
est un maximum local
Étape 10
Déterminez la valeur y quand .
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Étape 10.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 10.2
Simplifiez le résultat.
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Étape 10.2.1
Simplifiez chaque terme.
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Étape 10.2.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 10.2.1.2
Multipliez par .
Étape 10.2.2
Additionnez et .
Étape 10.2.3
La réponse finale est .
Étape 11
Ce sont les extrema locaux pour .
est un maximum local
Étape 12