Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.4.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{x}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.4.2.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$\frac{x - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x - \ln (x) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 1.4.4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.4.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Étape 1.4.4.2

Factorisez $x$ à partir de $x - 2 \ln (x) x$ .

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Étape 1.4.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Étape 1.4.4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Étape 1.4.4.2.3

Factorisez $x$ à partir de $- 2 \ln (x) x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Étape 1.4.4.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Étape 1.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 1.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Étape 1.6

Simplifiez $- 2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{3 \cdot 2}}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \ln (x^{2})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 2.2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 2.2.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (x^{2})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- \frac{d}{d x} \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.4.1

Associez $x^{3}$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 2.4.2

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 2.4.2.2.4

Divisez $x$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{- x \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{- x (2 x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 2.4.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x \cdot x - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Étape 2.10

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.10.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

Étape 2.10.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 2 x^{2} - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}$ .

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Étape 2.10.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \cdot - 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

Étape 2.10.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

Étape 2.10.2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (1 - \ln (x^{2})))$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

Étape 2.11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.11.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 2.11.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 2.11.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Étape 2.12

Simplifiez

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Étape 2.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 \cdot 1 - 3 (- \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Étape 2.12.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.12.2.1.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 - 3 (- \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Étape 2.12.2.1.2

Multipliez $- 3 (- \ln (x^{2}))$ .

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Étape 2.12.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + 3 \ln (x^{2})}{x^{4}}$

Étape 2.12.2.1.2.2

Simplifiez $3 \ln (x^{2})$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln ({(x^{2})}^{3})}{x^{4}}$

Étape 2.12.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{3}$ .

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Étape 2.12.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln (x^{2 \cdot 3})}{x^{4}}$

Étape 2.12.2.1.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Étape 2.12.2.2

Soustrayez $3$ de $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 5 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Étape 2.12.3

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Étape 2.12.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\ln (x^{6})$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \ln (x^{6}))}{x^{4}}$

Étape 2.12.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (5) - 1 (- \ln (x^{6}))$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 (5 - \ln (x^{6}))}{x^{4}}$

Étape 2.12.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{5 - \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.1.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1.4.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.1.4.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 4.1.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.1.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.1.4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.1.4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.1.4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{x}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.1.4.2.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$\frac{x - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x - \ln (x) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 4.1.4.4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.1.4.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Étape 4.1.4.4.2

Factorisez $x$ à partir de $x - 2 \ln (x) x$ .

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Étape 4.1.4.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Étape 4.1.4.4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Étape 4.1.4.4.2.3

Factorisez $x$ à partir de $- 2 \ln (x) x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Étape 4.1.4.4.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Étape 4.1.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 4.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 4.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Étape 4.1.6

Simplifiez $- 2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ .

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 - \ln (x^{2}) = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \ln (x^{2}) = - 1$

Étape 5.3.2

Divisez chaque terme dans $- \ln (x^{2}) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (x^{2}) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (x^{2})}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (x^{2})}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $\ln (x^{2})$ par $1$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\ln (x^{2}) = 1$

Étape 5.3.3

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{1}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $\ln (x^{2}) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x^{2}$

Étape 5.3.5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.5.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} = e^{1}$ .

$x^{2} = e$

Étape 5.3.5.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{e^{1}}$

Étape 5.3.5.3

Simplifiez

$x = \pm \sqrt{e}$

Étape 5.3.5.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{e}$

Étape 5.3.5.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{e}$

Étape 5.3.5.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{e}, - \sqrt{e}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 6.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 6.3

Définissez l’argument dans $\ln (x^{2})$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} \leq 0$

Étape 6.4

Résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{0}$

Étape 6.4.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq \sqrt{0}$

Étape 6.4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.2.1

Simplifiez $\sqrt{0}$ .

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Étape 6.4.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.4.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq | 0 |$

Étape 6.4.2.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$| x | \leq 0$

Étape 6.4.3

Écrivez $| x | \leq 0$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 6.4.3.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 6.4.3.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \leq 0$

Étape 6.4.3.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 6.4.3.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \leq 0$

Étape 6.4.3.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 6.4.4

Déterminez l’intersection de $x \leq 0$ et $x \geq 0$ .

$x = 0$

Étape 6.4.5

Résolvez $- x \leq 0$ quand $x < 0$ .

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Étape 6.4.5.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.4.5.1.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 0$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Étape 6.4.5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.5.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Étape 6.4.5.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

Étape 6.4.5.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.5.1.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$x \geq 0$

Étape 6.4.5.2

Déterminez l’intersection de $x \geq 0$ et $x < 0$ .

Aucune solution

Étape 6.4.6

Déterminez l’union des solutions.

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \sqrt{e}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \sqrt{e}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{5 - \ln ({(\sqrt{e})}^{6})}{{(\sqrt{e})}^{4}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Réécrivez ${\sqrt{e}}^{6}$ comme $e^{3}$ .

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Étape 9.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{e}$ comme $e^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{5 - \ln ({(e^{\frac{1}{2}})}^{6})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Étape 9.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{1}{2} \cdot 6})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Étape 9.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{6}{2}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Étape 9.1.1.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 9.1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Étape 9.1.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Étape 9.1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Étape 9.1.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{3}{1}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Étape 9.1.1.4.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{3})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Étape 9.1.2

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $3$ de l’exposant.

$- \frac{5 - (3 \ln (e))}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Étape 9.1.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- \frac{5 - (3 \cdot 1)}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Étape 9.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$- \frac{5 - 1 \cdot 3}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Étape 9.1.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{5 - 3}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Étape 9.1.6

Soustrayez $3$ de $5$ .

$- \frac{2}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Étape 9.2

Réécrivez ${\sqrt{e}}^{4}$ comme $e^{2}$ .

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Étape 9.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{e}$ comme $e^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 9.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{1}{2} \cdot 4}}$

Étape 9.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{4}{2}}}$

Étape 9.2.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 9.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Étape 9.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}$

Étape 9.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}$

Étape 9.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2}{e^{\frac{2}{1}}}$

Étape 9.2.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$- \frac{2}{e^{2}}$

Étape 10

$x = \sqrt{e}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \sqrt{e}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \sqrt{e}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{e}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{{(\sqrt{e})}^{2}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Réécrivez ${\sqrt{e}}^{2}$ comme $e$ .

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Étape 11.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{e}$ comme $e^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 11.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{2}{2}}}$

Étape 11.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{2}{2}}}$

Étape 11.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

Étape 11.2.1.5

Simplifiez

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

Étape 11.2.2

La réponse finale est $\frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$ .

$y = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$ .

$(\sqrt{e}, \frac{\ln (\sqrt{e})}{e})$ est un maximum local

Étape 13